Questão 2. Considere a equação
\left(4 x^{2}+y\right) d x+(x+4) d y=0
a) Verifique se a equação é exata.
b) Encontre uma solução para a equação com condição inicial y(1)=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\bigl(4x^{2}+y\bigr)\,dx + (x+4)\,dy = 0
e pede:
  • (a) verificar se ela é exata, isto é, se podemos escrever M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 com \partial M/\partial y = \partial N/\partial x;
  • (b) encontrar a solução que satisfaça a condição inicial \,y(1)=0.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 4x^{2}+y, \qquad N(x,y) = x+4.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = 1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 1.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} = M(x,y), \qquad \frac{\partial \psi}{\partial y} = N(x,y).
Integramos M em relação a x:
\psi(x,y) = \int (4x^{2}+y)\,dx = \frac{4}{3}x^{3} + xy + h(y),
onde h(y) é uma função só de y.

Passo 4

Agora impomos
\frac{\partial \psi}{\partial y} = x + h'(y) \overset{!}{=} N(x,y) = x+4.
Daí h'(y)=4, logo
h(y)=4y + C.
A família geral de soluções implícitas é
\psi(x,y) = \frac{4}{3}x^{3} + xy + 4y = C_{1}.

Passo 5

Usamos a condição inicial \,y(1)=0. Substituindo em \psi(x,y)=C_{1}:
\psi(1,0) = \frac{4}{3}\cdot 1^{3} + 1\cdot 0 + 4\cdot 0 = \frac{4}{3},
logo C_{1}=\tfrac{4}{3}. A solução implícita fica
\frac{4}{3}x^{3} + xy + 4y = \frac{4}{3}.
Isolando y:
y\,(x+4) = \frac{4}{3}\bigl(1 - x^{3}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{\tfrac{4}{3}\,(1 - x^{3})}{x+4} = \frac{4\,(1 - x^{3})}{3(x+4)}.

Resposta

y(x) = \frac{4\,(1 - x^{3})}{3(x+4)}.

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