Questão 2. Considere a equação
a) Verifique se a equação é exata.
b) Encontre uma solução para a equação com condição inicial
.
b) Encontre uma solução para a equação com condição inicial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede:
- (a) verificar se ela é exata, isto é, se podemos escrever
com ; - (b) encontrar a solução que satisfaça a condição inicial
.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Como é exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é uma função só de
.
Passo 4
Agora impomos
Daí
, logo
A família geral de soluções implícitas é
Passo 5
Usamos a condição inicial
. Substituindo em
:
logo
. A solução implícita fica
Isolando
: