Usando uma rotação de eixos convenientes, transforme a equação
4 x^2+y^2+4 x y+x-2 y=0
em uma que não contenha o termo x y.

Passo 1

O enunciado pede para eliminar o termo de interação xy na equação de segundo grau
4x^2+y^2+4xy+x-2y=0
usando uma rotação de eixos. O que vamos usar é a fórmula
tan(2theta)=BA-C,
onde A=4, B=4 e C=1, e depois a mudança de variáveis
x = x'costheta - y'sintheta, y = x'sintheta + y'costheta

Passo 2

Calculamos primeiro o ângulo duplo:
tan(2theta)=44-1=43
Para esse valor podemos usar um triângulo 3–4–5, de modo que
cos(2theta)=35, sin(2theta)=45

Passo 3

Da identidade
cos^2theta = 1+cos(2theta)2, sin^2theta = 1-cos(2theta)2,
seguem
costheta = raiz1+tfrac352 = 2raiz5, sintheta = raiz1-tfrac352 = 1raiz5

Passo 4

A rotação de eixos fica então
x = 2x' - y'raiz5, y = x' + 2y'raiz5

Passo 5

Substituindo na equação original e multiplicando tudo por 5 para limpar denominadores, obtemos:
  • Os termos quadráticos transformam-se em
4x^2+y^2+4xy ;longrightarrow; 5x'^2,
  • Os termos lineares
x-2y ;longrightarrow; 2x'-y'raiz5 - 2x'+4y'raiz5 = -,5y'raiz5 = -raiz5,y'
Assim a equação em (x',y') sem termo misto é
5x'^2 ;-;raiz5,y' ;=;0

Resposta

5x'^2 - raiz5,y' = 0

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