Um ponto (x, y) move-se sobre a semicircunferência x^2+y^2=5 y >= 0, gerando curvas t mapsto x(t) e t mapsto y(t) Suponha que d x(t)d t>0, forall t. Determine o ponto da semicircunferência em que a velocidade de y seja o dobro da de x.

Passo 1

Estamos com um ponto $x(t),y(t)$ que se move sobre a semicircunferência definida por
x(t),y(t)
com a condição adicional \y\ge 0 e \dfrac{dx}{dt}>0. Precisamos achar o ponto onde \dfrac{dy}{dt} é o dobro de \dfrac{dx}{dt}.

Passo 2

Aplicamos diferenciação implícita em relação a \t na equação da circunferência. Derivando
x^2 + y^2 = 5
vem
2xdxdt + 2ydydt = 0
o que simplifica para
xdxdt + ydydt = 0

Passo 3

Agora, impomos a condição desejada \dfrac{dy}{dt} = 2\dfrac{dx}{dt}. Substituindo em \x\dfrac{dx}{dt} + y\dfrac{dy}{dt} = 0:
xdxdt + yl(2dxdtr) = 0
Como \dfrac{dx}{dt}>0, podemos dividir ambos os lados por \dfrac{dx}{dt}, obtendo
x + 2y = 0
ou seja
y = -x2 Substituindo na circunferência \x^2 + y^2 = 5:
x^2 + l(-x2r)^2 = 5
x^2 + x^24 = 5
54x^2 = 5
x^2 = 4
Logo \x = \pm 2 e \;y = -x/2.

Passo 4

Precisamos do ponto com \y\ge 0 e cumprindo \dfrac{dx}{dt}>0. Para \x = 2 temos \y = -1 (<0), o que não serve. Para \x = -2 obtemos \y = 1 (\ge 0) e nesse ramo \x está aumentando (\dx/dt>0), conferindo. Portanto o ponto é $-2,1$.

Resposta

(-2, 1)

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