Um ponto
move-se sobre a semicircunferência
, gerando curvas
e
Suponha que
. Determine o ponto da semicircunferência em que a velocidade de
seja o dobro da de
.
Passo 1
Estamos com um ponto $x(t),y(t)$ que se move sobre a semicircunferência definida por
com a condição adicional \y\ge 0 e \dfrac{dx}{dt}>0. Precisamos achar o ponto onde \dfrac{dy}{dt} é o dobro de \dfrac{dx}{dt}.
Passo 2
Aplicamos diferenciação implícita em relação a \t na equação da circunferência. Derivando
vem
o que simplifica para
Passo 3
Agora, impomos a condição desejada \dfrac{dy}{dt} = 2\dfrac{dx}{dt}. Substituindo em \x\dfrac{dx}{dt} + y\dfrac{dy}{dt} = 0:
Como \dfrac{dx}{dt}>0, podemos dividir ambos os lados por \dfrac{dx}{dt}, obtendo
ou seja
Logo \x = \pm 2 e \;y = -x/2.
Passo 4
Precisamos do ponto com \y\ge 0 e cumprindo \dfrac{dx}{dt}>0. Para \x = 2 temos \y = -1 (<0), o que não serve. Para \x = -2 obtemos \y = 1 (\ge 0) e nesse ramo \x está aumentando (\dx/dt>0), conferindo. Portanto o ponto é $-2,1$.
Resposta
(-2, 1)