Resolver a equação de Ricatti no intervalo [1,+infty[ :
x^2 y^prime=x^2 y^2+x y+1
Dica : procurar uma solução particular da forma y1(x)=ax com a in R.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Riccati
x^2y'=x^2y^2+xy+1
no intervalo [1,infty[, sabendo que existe uma solução particular do tipo y1(x)=a/x. Vamos usar: (i) encontrar y1, (ii) fazer a transformação clássica de Riccati para obter uma equação linear, (iii) resolver essa equação, (iv) retornar à variável y.

Passo 2

Procurar uma solução particular y1(x)=a/x. Substituindo em
y'=y^2+ frac1xy+ frac1x^2,
temos y1'=-a/x^2 e
a^2/x^2+a/x^2+1/x^2=-a/x^2
Multiplicando por x^2: a^2+a+1=-a, que leva a
a^2+2a+1=0 (a+1)^2=0
Logo a=-1 e y1(x)=-1/x.

Passo 3

Fazer a substituição padrão de Riccati
y=y1+ rac1u=- rac1x+ rac1u(x)
Calculamos y'=1/x^2-u'/u^2 e inserimos em
x^2y'=x^2y^2+xy+1
para obter, após simplificar, a equação linear em u:
u'- rac1xu=-1

Passo 4

Resolver a equação linear u'-1xu=-1. O fator integrante é mu=exp(-integral1/x,dx)=1/x. Multiplicando:
(tfracux)'=-tfrac1x
Integrando:
ux=-ln x +C
Logo
u(x)=Cx - xln x,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Voltar a y usando y=-1/x+1/u(x). Substituindo u(x)=x(C-ln x) vem
y(x)=-1x+1x,(C-ln x)

Resposta

A solução geral da equação de Riccati é
y(x)=-1x+1x,(C-ln x), CinR

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