Resolver a equação de Ricatti no intervalo
:
Dica : procurar uma solução particular da forma
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Riccati
no intervalo
, sabendo que existe uma solução particular do tipo
. Vamos usar: (i) encontrar
, (ii) fazer a transformação clássica de Riccati para obter uma equação linear, (iii) resolver essa equação, (iv) retornar à variável
.
Passo 2
Procurar uma solução particular
. Substituindo em
temos
e
Multiplicando por
:
, que leva a
Logo
e
.
Passo 3
Fazer a substituição padrão de Riccati
Calculamos
e inserimos em
para obter, após simplificar, a equação linear em
:
Passo 4
Resolver a equação linear
. O fator integrante é
. Multiplicando:
Integrando:
Logo
onde
é constante de integração.
Passo 5
Voltar a
usando
. Substituindo
vem
Resposta
A solução geral da equação de Riccati é