( 3,5 pontos). Considere um sistema de abastecimento de água por gravidade entre dois reservatórios no qual se deseja bombear a vazão do sistema instalando uma bomba imediatamente após a saída do reservatório R1. O reservatório R1 está situado numa cota de 100 metros e está ligado por uma tubulação de 1200 metros, de diâmetro de 0,15 \mathrm{~m} a outro reservatório R2 cuja cota é 120 metros. A curva característica da bomba é dada pela tabela assim como a curva de rendimento, o coeficiente de atrito da tubulação é 0,020 , despreze as perdas localizadas e de sucção.
A) Determine a nova vazão recalcada no sistema;
B) Determine a cota piezométrica na saída da bomba;
C) Determine a potência requerida.
\mathrm{Q}\left(\mathrm{m}^{3} / \mathrm{s}\right) 0 0,006 0,012 0,018 0,024 0,030 0,036
\mathrm{H}(\mathrm{m}) 22,6 21,9 20,3 17,7 14,2 9,7 3,9
\eta(\%) 0 32 74 86 85 66 28
\mathrm{H}(\mathrm{m})

Passo 1

O enunciado trata de um sistema com dois reservatórios, R1 a cota 100\:\text{m} e R2 a cota 120\:\text{m}, ligados por uma tubulação de comprimento L=1200\:\text{m} e diâmetro D=0,15\:\text{m}. Queremos instalar uma bomba imediatamente após a saída de R1 para vencer a diferença de cota \Delta z=20\:\text{m} e as perdas por atrito, sabendo-se o coeficiente de atrito f=0,020 e desprezando-se perdas localizadas e de sucção. A curva característica da bomba fornece a altura manométrica H_{\mathrm{b}}(Q) e o rendimento \eta(Q) em vários pontos de vazão Q.

Passo 2

Escrevemos a equação de equilíbrio de energia entre a superfície livre de R1 (ponto de sucção) e a superfície livre de R2 (ponto de recalque). A bomba deve fornecer
H_{\mathrm{b}}(Q) \;=\;\Delta z + h_f(Q),
onde
\Delta z = 120 - 100 = 20\:\text{m},
e a perda por atrito na tubulação, pela fórmula de Darcy–Weisbach, é
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g} \quad\text{com}\quad v = \frac{Q}{A},\quad A = \frac{\pi D^2}{4}.
Substituindo v em função de Q obtemos
h_f = \frac{f\,L}{D}\,\frac{1}{2g}\,\Bigl(\frac{Q}{A}\Bigr)^{2} = C\,Q^2,
onde, numericamente,
A = \frac{\pi(0,15)^2}{4}\approx0,01767\:\mathrm{m^2},\quad C = \frac{f\,L}{D}\frac{1}{2g\,A^2}\approx26113\:\mathrm{\frac{m}{(m^3/s)^2}}.
Logo a curva de carga do sistema é
H_{\mathrm{sys}}(Q)=20 + 26113\,Q^2.

Passo 3

Para determinar a vazão de funcionamento, igualamos
H_{\mathrm{b}}(Q)=H_{\mathrm{sys}}(Q).
Usando a tabela da bomba e interpolando, fazemos ensaios: em Q=0,006\:\mathrm{m^3/s}, H_{\mathrm{b}}=21{,}9\:\mathrm{m} e H_{\mathrm{sys}}=20{,}94\:\mathrm{m} (bomba excede carga); em Q=0,012\:\mathrm{m^3/s}, H_{\mathrm{b}}=20{,}3\:\mathrm{m} e H_{\mathrm{sys}}=23{,}76\:\mathrm{m} (bomba insuficiente). Refinando por interpolação linear local, obtém-se
Q \approx 0{,}00754\:\mathrm{m^3/s}.

Passo 4

A cota piezométrica na saída da bomba é a cota de sucção 100\:\mathrm{m} mais a altura manométrica fornecida pela bomba em Q=0{,}00754. Da tabela, interpolando H_{\mathrm{b}} entre 0{,}006 e 0{,}012,
H_{\mathrm{b}}\bigl(0{,}00754\bigr)\approx21{,}49\:\mathrm{m},
logo a cota piezométrica de saída é
z_p = 100 + 21{,}49 \approx 121{,}49\:\mathrm{m}.

Passo 5

A potência hidráulica é
P_H = \rho\,g\,Q\,H_{\mathrm{b}} =1000\cdot9{,}81\cdot0{,}00754\cdot21{,}49\approx1,59\:\mathrm{kW}.
O rendimento da bomba em Q=0{,}00754 é interpolado entre 32\% e 74\%, resultando em \eta\approx42{,}8\%. Assim a potência requerida ao eixo é
P_{\mathrm{req}} =\frac{P_H}{\eta} \approx\frac{1{,}59}{0{,}428} \approx3{,}72\:\mathrm{kW}.

Resposta

(a) Q\approx0{,}00754\:\mathrm{m^3/s}
(b) cota piezométrica de saída \approx121{,}49\:\mathrm{m}
(c) potência requerida \approx3{,}72\:\mathrm{kW}

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