( 2,5 pontos) Do alto do terraço de um edificio de altura
um objeto é arremessado verticalmente para cima, num local onde a aceleração da gravidade possui módulo
. Na descida ele passa rente ao edifício atingindo o solo com uma velocidade cujo módulo é
. Determine, em função de
e
, (a) a velocidade de lançamento do objeto; (b) o instante em que o objeto atinge o solo e (c) a velocidade do objeto no instante em que passa por um ponto localizado na metade da altura do edificio.
Passo 1
O enunciado pede três coisas e nos dá algumas informações. Vou listar explicitamente o que é pedido e o que temos:
-
O que o enunciado pede:
(a) a velocidade de lançamento do objeto (módulo da velocidade inicial);
(b) o instante (tempo) em que o objeto atinge o solo (desde o lançamento);
(c) a velocidade do objeto no instante em que passa por um ponto localizado na metade da altura do edifício (isto é, na alturaacima do solo). -
Informações dadas:
- altura do terraço (do ponto de lançamento) em relação ao solo:
; - aceleração da gravidade (módulo):
(vetorialmente para baixo); - velocidade com que o objeto atinge o solo (módulo):
. - o objeto é arremessado verticalmente para cima a partir do topo (posição inicial a
).
- altura do terraço (do ponto de lançamento) em relação ao solo:
Passo 2
Escolho um referencial e defino variáveis (isso evita confusão nas contas).
- Origem do eixo vertical em
no solo, eixo apontando para cima. - Posição inicial:
. - Velocidade inicial (que queremos): vou chamar de
(positiva quando para cima). - Aceleração escalar:
(porque a gravidade aponta para baixo). - Velocidade no instante
: . - Velocidade ao atingir o solo (módulo dado):
. Observação: o vetor velocidade ao chegar ao solo é para baixo, mas é o módulo.
As equações do movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA) que vamos usar são:
Existe também a relação independente do tempo que liga velocidades e deslocamento:
que é muito útil — explicando rápido: ela vem ao integrar
usando
, e então integrar em
.
Passo 3
Relacionar
e
usando a fórmula sem tempo.
Tomamos o ponto final como o solo:
. Aplicando
com
,
,
e
, temos
Isolando
:
Como
é a velocidade de lançamento (módulo) e deve ser não negativa, tomamos a raiz positiva:
Observação importante: essa expressão só faz sentido real se
(caso contrário não existiría lançamento compatível nos termos reais), mas o enunciado considera uma situação física válida.
Passo 4
Determinar o instante em que o objeto atinge o solo (resolvendo a equação da posição).
Usamos
Queremos o tempo
tal que
. Assim:
Reescrevendo como equação quadrática em
:
Aplicando a fórmula de Bhaskara (ou a fórmula resolvente) para
com
,
,
, obtemos
Escolhemos o sinal positivo porque queremos a raiz positiva (tempo positivo, maior que zero):
Mas note que
pela relação do Passo 3. Portanto uma forma elegante em termos de
é
Substituindo
(obtido no Passo 3) obtemos a expressão completamente em
:
Passo 5
Velocidade do objeto quando passa pela altura
.
Queremos a velocidade (módulo) no instante em que
. Como o lançamento é do topo
para cima, o ponto
fica abaixo do ponto de partida, portanto o objeto só o atravessa durante a descida — logo a velocidade nesse instante terá direção para baixo (ou seja, negativa no nosso eixo), mas aqui vou calcular o módulo.
Usamos novamente a relação sem tempo entre velocidades e deslocamento: tomando
,
Agora substituímos
(do Passo 3):
Tomando a raiz positiva para o módulo:
E lembrando a direção física: no instante em que passa por
o movimento é de descida, então o vetor velocidade é apontando para baixo (no eixo com sentido para cima, a componente seria
).
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)