( 3,0 pontos) Quando se analisa uma rede social, frequentemente se deseja calcular uma medida de centralidade, às vezes chamada medida de prestígio, de cada indivíduo inserido nessa rede. Uma dessas medidas, proposta por Katz, estabelece que o prestígio do indivíduo
é uma soma ponderada do prestígio das pessoas com quem esse indivíduo está conectado. Especificamente, o prestígio do indivíduo
é dado por
onde
, se os indivíduos
e
estão conectados e
, caso contrário. Por convenção,
.
(a) (1,0 ponto) Expresse matricialmente o problema de cálculo de
.
(b)
ponto) Se
para
, qual é o determinante da matriz de coeficientes que você encontrou no item (a)? Por quê?
(c) ( 1,0 ponto) Assumindo a condição do item (b), o que você pode dizer sobre o conjunto de solução do problema do item (a)? Explique.
(a) (1,0 ponto) Expresse matricialmente o problema de cálculo de
(b)
(c) ( 1,0 ponto) Assumindo a condição do item (b), o que você pode dizer sobre o conjunto de solução do problema do item (a)? Explique.
Passo 1
O enunciado dá para cada indivíduo
a relação
onde
é a matriz de adjacência ponderada (com
). O conteúdo é álgebra linear (autovalores e sistemas lineares homogêneos). Para resolver, vamos escrever tudo em forma matricial.
Passo 2
Definindo
e a matriz
, a condição
para todo
equivale à equação vetorial
Reorganizando, obtemos o sistema homogêneo
Passo 3
Se cada linha de
soma 1, isto é,
então o vetor
satisfaz
logo
é autovalor de
. Em consequência, a matriz
tem
como autovalor e, portanto,
Passo 4
Como
, o sistema homogêneo
tem soluções não triviais. O conjunto- solução é o espaço nulo de
, de dimensão pelo menos 1. Em particular, qualquer múltiplo escalar de um autovetor associado ao autovalor 1 de
resolve o sistema.
Resposta
(a)
(b) , pois
é linha-estocástica e tem autovalor 1.
(c) Há infinitas soluções não triviais: o espaço nulo de tem dimensão
, consistindo dos múltiplos do autovetor de
associado a 1.
(b)
(c) Há infinitas soluções não triviais: o espaço nulo de