( 3,0 pontos) Quando se analisa uma rede social, frequentemente se deseja calcular uma medida de centralidade, às vezes chamada medida de prestígio, de cada indivíduo inserido nessa rede. Uma dessas medidas, proposta por Katz, estabelece que o prestígio do indivíduo i é uma soma ponderada do prestígio das pessoas com quem esse indivíduo está conectado. Especificamente, o prestígio do indivíduo i é dado por
p_{i}=\sum_{j=1}^{n} g_{i j} p_{j},
onde 0<g_{i j} \leq 1, se os indivíduos i e j estão conectados e g_{i j}=0, caso contrário. Por convenção, g_{i i}=0.
(a) (1,0 ponto) Expresse matricialmente o problema de cálculo de \boldsymbol{p}=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right).
(b) \left(1,0\right. ponto) Se \sum_{j=1}^{n} g_{i j}=1 para i=1, \ldots, n, qual é o determinante da matriz de coeficientes que você encontrou no item (a)? Por quê?
(c) ( 1,0 ponto) Assumindo a condição do item (b), o que você pode dizer sobre o conjunto de solução do problema do item (a)? Explique.

Passo 1

O enunciado dá para cada indivíduo i a relação
p_{i}=\sum_{j=1}^{n}g_{ij}\,p_{j},
onde G=(g_{ij}) é a matriz de adjacência ponderada (com g_{ii}=0). O conteúdo é álgebra linear (autovalores e sistemas lineares homogêneos). Para resolver, vamos escrever tudo em forma matricial.

Passo 2

Definindo \boldsymbol{p}=(p_{1},\dots,p_{n})^T e a matriz G=(g_{ij}), a condição p_{i}=\sum_{j}g_{ij}p_{j} para todo i equivale à equação vetorial
\boldsymbol{p}=G\,\boldsymbol{p}.
Reorganizando, obtemos o sistema homogêneo
(I - G)\,\boldsymbol{p} = \boldsymbol{0}.

Passo 3

Se cada linha de G soma 1, isto é,
\sum_{j=1}^{n}g_{ij}=1\quad\forall i,
então o vetor \boldsymbol{1}=(1,\dots,1)^T satisfaz
G\,\boldsymbol{1}=\boldsymbol{1},
logo 1 é autovalor de G. Em consequência, a matriz I-G tem 0 como autovalor e, portanto,
\det(I - G)=0.

Passo 4

Como \det(I-G)=0, o sistema homogêneo (I-G)\,\boldsymbol{p}=\boldsymbol{0} tem soluções não triviais. O conjunto- solução é o espaço nulo de I-G, de dimensão pelo menos 1. Em particular, qualquer múltiplo escalar de um autovetor associado ao autovalor 1 de G resolve o sistema.

Resposta

(a) (I - G)\,\boldsymbol{p}=\boldsymbol{0}.
(b) \det(I - G)=0, pois G é linha-estocástica e tem autovalor 1.
(c) Há infinitas soluções não triviais: o espaço nulo de I-G tem dimensão >=1, consistindo dos múltiplos do autovetor de G associado a 1.

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