As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, atribua um valor para x e um valor para y (quando houver y ) de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(f) \left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 3 \\\\ 4 & x & 0 \\\\ 3 & 2 & 1\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3\\\\ 4 & x & 0\\\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}
e pede que o sistema A\mathbf{u}=\mathbf b tenha ou nenhuma solução, ou infinitas soluções, dependendo do vetor \mathbf b. Isso só ocorre se A for singular, ou seja, \det(A)=0.

Passo 2

Vamos calcular \det(A) em função de x. Usando cofattores na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}x&0\\\ 2&1\end{pmatrix} -4\cdot\det\begin{pmatrix}4&0\\\ 3&1\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}4&x\\\ 3&2\end{pmatrix}.
Calculando os determinantes 2\times 2:
\det\begin{pmatrix}x&0\\\ 2&1\end{pmatrix}=x\cdot1-0\cdot2=x, \quad \det\begin{pmatrix}4&0\\\ 3&1\end{pmatrix}=4\cdot1-0\cdot3=4,
\det\begin{pmatrix}4&x\\\ 3&2\end{pmatrix}=4\cdot2-x\cdot3=8-3x.
Logo
\det(A)=1\cdot x-4\cdot4+3\cdot(8-3x) =x-16+24-9x=8(1-x).

Passo 3

Para que \det(A)=0 precisamos de
8(1-x)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1.

Passo 4

Com x=1, a matriz fica singular de posto \rank(A)=2 (por exemplo, o menor complementar 2\times 2 das primeiras duas colunas vale -15\neq0). Então:
  • Se \rank([A\mid \mathbf b])=2, há infinitas soluções.
  • Se \rank([A\mid \mathbf b])=3, não há solução.
    Isso garante que, variando \mathbf b, o sistema terá ou nenhuma solução ou infinitas soluções.

Resposta

x=1

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