( 3,0 pontos) Considere um mercado com duas firmas: 1 e 2 . Suponha que a demanda pelo bem produzido pela firma 1 seja dada por
q_{1}\left(p_{1}, m, p_{2}\right)=f\left(p_{1}, m\right)-b p_{2},
onde q_{1} é a quantidade demandada pelo bem da firma 1, p_{1} é o preço cobrado pela firma 1, m é o gasto com marketing da firma 1 e p_{2}>0 é o preço do bem produzido pela firma 2 . A função f é duas vezes continuamente diferenciável e o coeficiente b>0 mede o grau de complementaridade entre os bens das duas firmas. O custo da firma 1 é dado por c\left(q_{1}, m\right)=c q_{1}+m, onde c>0. Assim, o lucro da firma 1 é
\pi\left(p_{1}, m, p_{2}\right)=\left(p_{1}-c\right)\left[f\left(p_{1}, m\right)-b p_{2}\right]-m
A firma 1 escolhe o seu preço, p_{1}, e o seu gasto com marketing, m, de forma a maximizar o seu lucro. Admita que
Com base nessas informações, responda os itens a seguir.
(a) ( 1,0 ponto) Assumindo solução interior, p_{1}^{*}>0 e m^{*}>0, encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma 1. Com base no que você encontrou, determine o sinal (positivo ou negativo) de p_{1}^{*}-c e de q_{1}\left(p_{1}^{*}, m^{*}, p_{2}\right).
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições suficientes de segunda ordem para que \left(p_{1}^{*}, m^{*}\right) que resolve o item anterior constitua um ponto de máximo local estrito. Qual condição deve ser imposta sobre \frac{\partial^{2} f\left(p_{1}^{*}, m^{*}\right)}{\partial m^{2}} ?
(c) (1,0 ponto) Calcule o impacto de uma mudança infinitesimal em p_{2} sobre p_{1}^{*} e m^{*}. Analise os sinais.
e pede (a) as condições de primeira ordem e sinais de p_{1}^{*}-c e de q_{1}, (b) as condições suficientes de segunda ordem e que condição sobre \partial^{2}f/\partial m^{2}, e (c) os efeitos de uma variação infinitesimal de p_{2} em p_{1}^{*} e m^{*}. O conteúdo é otimização de função de duas variáveis e análise de comparativos estáticos.
e diferenciamos: \tfrac{\partial F}{\partial(p_{1},m)}\begin{pmatrix}dp_{1}\dm\end{pmatrix}+\tfrac{\partial F}{\partial p_{2}}dp_{2}=0. Com isso obtemos
dp_{1}/dp_{2}<0, \quad dm/dp_{2}<0,
isto é, um aumento de p_{2} leva a reduzir tanto o preço p_{1}^{*} quanto o gasto de marketing m^{*}.