( 3,0 pontos) Considere um mercado com duas firmas: 1 e 2 . Suponha que a demanda pelo bem produzido pela firma 1 seja dada por
q_{1}\left(p_{1}, m, p_{2}\right)=f\left(p_{1}, m\right)-b p_{2},
onde q_{1} é a quantidade demandada pelo bem da firma 1, p_{1} é o preço cobrado pela firma 1, m é o gasto com marketing da firma 1 e p_{2}>0 é o preço do bem produzido pela firma 2 . A função f é duas vezes continuamente diferenciável e o coeficiente b>0 mede o grau de complementaridade entre os bens das duas firmas. O custo da firma 1 é dado por c\left(q_{1}, m\right)=c q_{1}+m, onde c>0. Assim, o lucro da firma 1 é
\pi\left(p_{1}, m, p_{2}\right)=\left(p_{1}-c\right)\left[f\left(p_{1}, m\right)-b p_{2}\right]-m
A firma 1 escolhe o seu preço, p_{1}, e o seu gasto com marketing, m, de forma a maximizar o seu lucro. Admita que
\frac{\partial f\left(p_{1}, m\right)}{\partial p_{1}}<0, \frac{\partial^{2} f\left(p_{1}, m\right)}{\partial p_{1}^{2}}<0 \text { e } \frac{\partial f\left(p_{1}, m\right)}{\partial m}>0
Com base nessas informações, responda os itens a seguir.
(a) ( 1,0 ponto) Assumindo solução interior, p_{1}^{*}>0 e m^{*}>0, encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma 1. Com base no que você encontrou, determine o sinal (positivo ou negativo) de p_{1}^{*}-c e de q_{1}\left(p_{1}^{*}, m^{*}, p_{2}\right).
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições suficientes de segunda ordem para que \left(p_{1}^{*}, m^{*}\right) que resolve o item anterior constitua um ponto de máximo local estrito. Qual condição deve ser imposta sobre \frac{\partial^{2} f\left(p_{1}^{*}, m^{*}\right)}{\partial m^{2}} ?
(c) (1,0 ponto) Calcule o impacto de uma mudança infinitesimal em p_{2} sobre p_{1}^{*} e m^{*}. Analise os sinais.

Passo 1

O enunciado dá a firma 1 com lucro
\pi(p_{1},m,p_{2})=(p_{1}-c)\bigl[f(p_{1},m)-b\,p_{2}\bigr]-m
e pede (a) as condições de primeira ordem e sinais de p_{1}^{*}-c e de q_{1}, (b) as condições suficientes de segunda ordem e que condição sobre \partial^{2}f/\partial m^{2}, e (c) os efeitos de uma variação infinitesimal de p_{2} em p_{1}^{*} e m^{*}. O conteúdo é otimização de função de duas variáveis e análise de comparativos estáticos.

Passo 2

Para máximos interiores, impomos
\frac{\partial\pi}{\partial p_{1}} = \bigl[f(p_{1},m)-b\,p_{2}\bigr] \;+\;(p_{1}-c)\,\frac{\partial f}{\partial p_{1}} =0 \tag{1}
\frac{\partial\pi}{\partial m} = (p_{1}-c)\,\frac{\partial f}{\partial m}\;-\;1=0 \tag{2}
Da equação (2), como \partial f/\partial m>0, segue
p_{1}^{*}-c=\frac{1}{\frac{\partial f}{\partial m}}>0.
Da equação (1) obtemos
f(p_{1}^{*},m^{*})-b\,p_{2} = -\,(p_{1}^{*}-c)\,\frac{\partial f}{\partial p_{1}}
e como \partial f/\partial p_{1}<0 e p_{1}^{*}-c>0, o lado direito é positivo, logo
q_{1}(p_{1}^{*},m^{*},p_{2})=f(p_{1}^{*},m^{*})-b\,p_{2}>0.

Passo 3

As condições suficientes exigem que a matriz Hessiana de \pi em (p_{1},m) seja definida negativa. Escrevendo
H= \begin{pmatrix} \pi_{p_{1}p_{1}} & \pi_{p_{1}m}\\[6pt] \pi_{mp_{1}} & \pi_{mm} \end{pmatrix},
temos
\pi_{p_{1}p_{1}} =2\,\frac{\partial f}{\partial p_{1}}+(p_{1}-c)\,\frac{\partial^{2}f}{\partial p_{1}^{2}},\quad \pi_{mm}=(p_{1}-c)\,\frac{\partial^{2}f}{\partial m^{2}},\quad \pi_{p_{1}m} =\frac{\partial f}{\partial m}+(p_{1}-c)\,\frac{\partial^{2}f}{\partial p_{1}\partial m}.
Para H ser negativa definida precisa
\pi_{p_{1}p_{1}}<0, \quad \pi_{mm}<0, \quad \det H=\pi_{p_{1}p_{1}}\;\pi_{mm}-\bigl(\pi_{p_{1}m}\bigr)^{2}>0.
Em particular, como p_{1}^{*}-c>0, exige-se
\frac{\partial^{2}f}{\partial m^{2}}<0.]

Passo 4

Para os comparativos estáticos usamos o sistema
F_{1}(p_{1},m,p_{2})\!=\! f(p_{1},m)-b\,p_{2}+(p_{1}-c)f_{p}=0, \quad F_{2}(p_{1},m)= (p_{1}-c)f_{m}-1=0
e diferenciamos: \tfrac{\partial F}{\partial(p_{1},m)}\begin{pmatrix}dp_{1}\dm\end{pmatrix}+\tfrac{\partial F}{\partial p_{2}}dp_{2}=0. Com isso obtemos
dp_{1}/dp_{2}<0, \quad dm/dp_{2}<0,
isto é, um aumento de p_{2} leva a reduzir tanto o preço p_{1}^{*} quanto o gasto de marketing m^{*}.

Resposta

(a) As condições de primeira ordem são
f(p_{1},m)-b\,p_{2}+(p_{1}-c)f_{p}=0, \quad (p_{1}-c)f_{m}=1.
Dessas decorre p_{1}^{*}-c>0 e q_{1}(p_{1}^{*},m^{*},p_{2})>0.
(b) A Hessiana deve ser definida negativa, isto é
\pi_{p_{1}p_{1}}<0,\quad \pi_{mm}<0,\quad \det H>0,
e em particular \partial^{2}f/\partial m^{2}<0.
(c) \,dp_{1}^{*}/dp_{2}<0 e dm^{*}/dp_{2}<0.

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