1 - (2,0 pontos) Aplicação em Engenharia (Otimização) - Considere a função
Classifique os pontos críticos usando a matriz Hessiana
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = x^{3} + y^{3} - 6xy $ e precisa encontrar os pontos críticos dela. Depois, vamos classificar esses pontos usando a matriz Hessiana. Basicamente, vamos trabalhar com cálculo para achar onde a função tem máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Para isso, a gente precisa calcular as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ e igualá-las a zero.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
A derivada parcial em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos resolver o sistema de equações:
Podemos simplificar dividindo cada equação por 3:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, temos $ x^{2} = 2y $. Vamos substituir isso na segunda equação:
Então, temos:
Vamos substituir $ y = \frac{x^{2}}{2} $ na segunda equação:
Dividindo ambos os lados por $ x $ (considerando $ x \neq 0 $):
Substituindo $ x = 2 $ na equação $ y = \frac{x^{2}}{2} $:
Então, um ponto crítico é $ (2, 2) $.
Agora, vamos considerar $ x = 0 $. Se $ x = 0 $, da primeira equação $ 0 - 2y = 0 \Rightarrow y = 0 $. Então, outro ponto crítico é $ (0, 0) $.
Passo 5
Agora que temos os pontos críticos $ (2, 2) $ e $ (0, 0) $, vamos classificar cada um usando a matriz Hessiana.
A matriz Hessiana é uma matriz das segundas derivadas parciais:
Vamos calcular cada segunda derivada:
Passo 6
Vamos avaliar a matriz Hessiana em cada ponto crítico.
Para o ponto $ (2, 2) $:
Calculamos o determinante:
Como $ f_{xx} = 12 > 0 $ e o determinante é positivo, o ponto $ (2, 2) $ é um mínimo local.
Para o ponto $ (0, 0) $:
Calculamos o determinante:
Como o determinante é negativo, o ponto $ (0, 0) $ é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos da função são $ (2, 2) $, que é um mínimo local, e $ (0, 0) $, que é um ponto de sela.