1 - (2,0 pontos) Aplicação em Engenharia (Otimização) - Considere a função
f(x, y)=x^3+y^3-6 x y
Classifique os pontos críticos usando a matriz Hessiana

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = x^{3} + y^{3} - 6xy $ e precisa encontrar os pontos críticos dela. Depois, vamos classificar esses pontos usando a matriz Hessiana. Basicamente, vamos trabalhar com cálculo para achar onde a função tem máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Para isso, a gente precisa calcular as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ e igualá-las a zero.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
x
A derivada parcial em relação a $ y $ é:
y

Passo 3

Agora, vamos resolver o sistema de equações:
3x^2 - 6y = 0 3y^2 - 6x = 0
Podemos simplificar dividindo cada equação por 3:
x^2 - 2y = 0 y^2 - 2x = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, temos $ x^{2} = 2y $. Vamos substituir isso na segunda equação:
x^2 = 2y
Então, temos:
y^2 - 2x = 0 Rightarrow y^2 = 2x
Vamos substituir $ y = \frac{x^{2}}{2} $ na segunda equação:
x^2 = 2y e y^2 = 2x
Dividindo ambos os lados por $ x $ (considerando $ x \neq 0 $):
y = x^22
Substituindo $ x = 2 $ na equação $ y = \frac{x^{2}}{2} $:
(x^22)^2 = 2x Rightarrow x^44 = 2x Rightarrow x^4 = 8x
Então, um ponto crítico é $ (2, 2) $.
Agora, vamos considerar $ x = 0 $. Se $ x = 0 $, da primeira equação $ 0 - 2y = 0 \Rightarrow y = 0 $. Então, outro ponto crítico é $ (0, 0) $.

Passo 5

Agora que temos os pontos críticos $ (2, 2) $ e $ (0, 0) $, vamos classificar cada um usando a matriz Hessiana.
A matriz Hessiana é uma matriz das segundas derivadas parciais:
(2, 2)
Vamos calcular cada segunda derivada:
(0, 0)
H = fxx & fxy fyx & fyy
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6x
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 6y

Passo 6

Vamos avaliar a matriz Hessiana em cada ponto crítico.
Para o ponto $ (2, 2) $:
(2, 2)
Calculamos o determinante:
H = 6(2) & -6 -6 & 6(2) = 12 & -6 -6 & 12
Como $ f_{xx} = 12 > 0 $ e o determinante é positivo, o ponto $ (2, 2) $ é um mínimo local.
Para o ponto $ (0, 0) $:
det(H) = (12)(12) - (-6)(-6) = 144 - 36 = 108 > 0
Calculamos o determinante:
fxx = 12 > 0
Como o determinante é negativo, o ponto $ (0, 0) $ é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função são $ (2, 2) $, que é um mínimo local, e $ (0, 0) $, que é um ponto de sela.

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