(2,5 pontos) Avalie as integrais:
Passo 1
O enunciado pede avaliar a integral definida
As informações fornecidas são:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é de
até .
A tarefa é calcular o valor numérico (definido) dessa integral.
Passo 2
Queremos simplificar a expressão dentro da raiz para obter potências com expoentes racionais mais simples. Observe que
Uma substituição natural que simplifica potências como
é tomar
como uma quarta potência. Faça a mudança
Então
Os limites mudam: quando
temos
e quando
temos
.
Passo 3
Substituindo na integral:
Agora simplificamos as potências:
Passo 4
Para tentar simplificar mais, faça a substituição
. Então
Como
e os novos limites são: quando
temos
; quando
temos
. A integral fica
Usando
e
obtemos
Ou seja,
Passo 5
Comentário sobre primitividade: a função
não tem, em geral, primitiva elementar simples (a primitiva envolve funções especiais / integrais elípticas). Como a questão pede avaliar a integral definida, uma abordagem prática e aceitável é calcular o valor numérico com boa precisão (método numérico). Vou aplicar a Regra de Simpson composta (método numérico clássico e preciso) diretamente na forma original
, dividindo o intervalo em subintervalos regulares.
Passo 6
Escolhi passo
(6 subintervalos pares, adequado para Simpson). Calculei os valores de
nos pontos
. Os resultados numéricos foram (arredondados a 6 casas decimais):
Passo 7
Aplicando a Regra de Simpson composta com
e
subintervalos:
Substituindo os valores:
Somando:
Multiplicando por
dá
Com arredondamento para 5 casas decimais obtemos
. (A diferença entre 1{,}35306 e 1{,}35308 vem de arredondamentos intermediários; o resultado final com mais precisão é aproximadamente
.)
Passo 8
Resumo e incentivo: concluímos a integral por transformação e avaliação numérica confiável. Se precisar, posso fornecer o resultado com mais casas decimais, estimativa do erro do método numérico, ou uma expressão em termos de funções elípticas se quiser a forma analítica.