(2,5 pontos) Avalie as integrais:
\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{(x+1) \sqrt{x}}} d x

Passo 1

O enunciado pede avaliar a integral definida
I=\int_{1}^{4}\frac{1}{\sqrt{(x+1)\sqrt{x}}}\,dx.
As informações fornecidas são:
  • O integrando é \dfrac{1}{\sqrt{(x+1)\sqrt{x}}}.
  • O intervalo de integração é de x=1 até x=4.
    A tarefa é calcular o valor numérico (definido) dessa integral.

Passo 2

Queremos simplificar a expressão dentro da raiz para obter potências com expoentes racionais mais simples. Observe que
\frac{1}{\sqrt{(x+1)\sqrt{x}}}=(x+1)^{-1/2}\,x^{-1/4}.
Uma substituição natural que simplifica potências como x^{-1/4} é tomar x como uma quarta potência. Faça a mudança
x=t^{4}.
Então
dx=4t^{3}\,dt.
Os limites mudam: quando x=1 temos t=1 e quando x=4 temos t=4^{1/4}=\sqrt{2}.

Passo 3

Substituindo na integral:
I=\int_{1}^{4}x^{-1/4}(x+1)^{-1/2}\,dx =\int_{t=1}^{t=\sqrt{2}}(t^{4})^{-1/4}\bigl(t^{4}+1\bigr)^{-1/2}\,4t^{3}\,dt.
Agora simplificamos as potências:
(t^{4})^{-1/4}=t^{-1},\qquad\text{portanto}
I=4\int_{1}^{\sqrt{2}}\frac{t^{3}\cdot t^{-1}}{\sqrt{t^{4}+1}}\,dt =4\int_{1}^{\sqrt{2}}\frac{t^{2}}{\sqrt{t^{4}+1}}\,dt.

Passo 4

Para tentar simplificar mais, faça a substituição u=t^{2}. Então
u=t^{2},\qquad du=2t\,dt \quad\Rightarrow\quad t\,dt=\frac{du}{2}.
Como t^{2}=u e os novos limites são: quando t=1 temos u=1; quando t=\sqrt{2} temos u=2. A integral fica
I=4\int_{1}^{\sqrt{2}}\frac{t^{2}}{\sqrt{t^{4}+1}}\,dt =4\int_{1}^{\sqrt{2}}\frac{t\cdot t}{\sqrt{(t^{2})^{2}+1}}\,dt =4\int_{1}^{\sqrt{2}}\frac{t}{\sqrt{u^{2}+1}}\;t\,dt.
Usando t\,dt=\dfrac{du}{2} e t^{2}=u obtemos
I=4\int_{u=1}^{u=2}\frac{u}{\sqrt{u^{2}+1}}\cdot\frac{du}{2u^{1/2}} =2\int_{1}^{2}\frac{\sqrt{u}}{\sqrt{u^{2}+1}}\,du.
Ou seja,
I=2\int_{1}^{2}\frac{u^{1/2}}{(u^{2}+1)^{1/2}}\,du.

Passo 5

Comentário sobre primitividade: a função \dfrac{\sqrt{u}}{\sqrt{u^{2}+1}} não tem, em geral, primitiva elementar simples (a primitiva envolve funções especiais / integrais elípticas). Como a questão pede avaliar a integral definida, uma abordagem prática e aceitável é calcular o valor numérico com boa precisão (método numérico). Vou aplicar a Regra de Simpson composta (método numérico clássico e preciso) diretamente na forma original I=\int_{1}^{4}\dfrac{1}{\sqrt{(x+1)\sqrt{x}}}\,dx, dividindo o intervalo em subintervalos regulares.

Passo 6

Escolhi passo h=0,5 (6 subintervalos pares, adequado para Simpson). Calculei os valores de
f(x)=\frac{1}{\sqrt{(x+1)\sqrt{x}}}
nos pontos x=1,1{,}5,2,2{,}5,3,3{,}5,4. Os resultados numéricos foram (arredondados a 6 casas decimais):
\begin{aligned} f(1)&=0{,}70710678,\\\ f(1{,}5)&=0{,}571637,\\\ f(2)&=0{,}485415,\\\ f(2{,}5)&=0{,}424880,\\\ f(3)&=0{,}379936,\\\ f(3{,}5)&=0{,}344593,\\\ f(4)&=0{,}31622777. \end{aligned}

Passo 7

Aplicando a Regra de Simpson composta com h=0{,}5 e n=6 subintervalos:
I\approx\frac{h}{3}\Bigl(f_{0}+4(f_{1}+f_{3}+f_{5})+2(f_{2}+f_{4})+f_{6}\Bigr).
Substituindo os valores:
\begin{aligned} f_{0}+f_{6}&=0{,}70710678+0{,}31622777=1{,}02333455,\\\\ 4(f_{1}+f_{3}+f_{5})&=4(0{,}571637+0{,}424880+0{,}344593)=5{,}3644\\ (\text{aprox.}),\\\\ 2(f_{2}+f_{4})&=2(0{,}485415+0{,}379936)=1{,}730702. \end{aligned}
Somando:
\text{soma interior}\approx 1{,}02333455+5{,}3644+1{,}730702=8{,}118437.
Multiplicando por h/3=0{,}5/3\approx0{,}1666667
I\approx0{,}1666667\times8{,}118437\approx1{,}35306.
Com arredondamento para 5 casas decimais obtemos I\approx1{,}35308. (A diferença entre 1{,}35306 e 1{,}35308 vem de arredondamentos intermediários; o resultado final com mais precisão é aproximadamente 1{,}35308.)

Passo 8

Resumo e incentivo: concluímos a integral por transformação e avaliação numérica confiável. Se precisar, posso fornecer o resultado com mais casas decimais, estimativa do erro do método numérico, ou uma expressão em termos de funções elípticas se quiser a forma analítica.

Resposta

I\approx1{,}35308

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