(3,0 pontos) Avalie se as seguintes funções bidimensionais satisfazem a equação de Laplace. Realize os devidos cálculos para justificar as suas respostas.
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis,
, e precisamos verificar se ela satisfaz a equação de Laplace. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e equações diferenciais. Para resolver isso, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função em relação a
e
e ver se a soma delas é igual a zero, que é o que a equação de Laplace exige.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Laplace. Em duas dimensões, ela é dada por:
Ou seja, a soma das segundas derivadas parciais de
em relação a
e
precisa ser igual a zero para que a função satisfaça a equação.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada de
em relação a
:
Agora, calculamos a segunda derivada de
em relação a
:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
:
Agora, calculamos a segunda derivada de
em relação a
:
Passo 5
Agora, somamos as segundas derivadas parciais que calculamos:
Resposta
Como a soma das segundas derivadas parciais é
e isso não é igual a zero, concluímos que a função
não satisfaz a equação de Laplace.