(3,0 pontos) Avalie se as seguintes funções bidimensionais satisfazem a equação de Laplace. Realize os devidos cálculos para justificar as suas respostas.
u(x, y)=sen(x) cos (y);

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis, u(x, y) = sin(x) cos(y) , e precisamos verificar se ela satisfaz a equação de Laplace. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e equações diferenciais. Para resolver isso, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função em relação a x e y e ver se a soma delas é igual a zero, que é o que a equação de Laplace exige.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Laplace. Em duas dimensões, ela é dada por:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0
Ou seja, a soma das segundas derivadas parciais de u em relação a x e y precisa ser igual a zero para que a função satisfaça a equação.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de u em relação a x :
partial upartial x = partialpartial x [sin(x) cos(y)] = cos(x) cos(y)
Agora, calculamos a segunda derivada de u em relação a x :
partial^2 upartial x^2 = partialpartial x [cos(x) cos(y)] = -sin(x) cos(y)

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a primeira derivada de u em relação a y :
partial upartial y = partialpartial y [sin(x) cos(y)] = -sin(x) sin(y)
Agora, calculamos a segunda derivada de u em relação a y :
partial^2 upartial y^2 = partialpartial y [-sin(x) sin(y)] = -sin(x) cos(y)

Passo 5

Agora, somamos as segundas derivadas parciais que calculamos:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = -sin(x) cos(y) + (-sin(x) cos(y)) = -2 sin(x) cos(y)

Resposta

Como a soma das segundas derivadas parciais é -2 sin(x) cos(y) e isso não é igual a zero, concluímos que a função u(x, y) = sin(x) cos(y) não satisfaz a equação de Laplace.

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