Questão 2. Calcule as integrais duplas:
\iint_{D} \frac{y}{1+x^{5}} d x d y \quad onde \quad D:=\left\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq x^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\frac{y}{1+x^{5}}\,dx\,dy
onde
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le x^{2}\}.
O conteúdo envolvido é o de integração dupla e uso do teorema de Fubini para mudar a ordem de integração.

Passo 2

Pelo teorema de Fubini, escrevemos a integral em ordem iterada como
\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{x^{2}}\frac{y}{1+x^{5}}\,dy\,dx.
Dentro da integral em y o termo 1+x^{5} é constante, então podemos fatorar \frac{1}{1+x^{5}}.

Passo 3

Calculamos a integral interna em y:
\int_{0}^{x^{2}}y\,dy = \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{x^{2}} = \frac{x^{4}}{2}.
Logo a integral dupla se reduz a
\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{5}}\cdot\frac{x^{4}}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{x^{4}}{1+x^{5}}\,dx.

Passo 4

Para resolver
\int_{0}^{1}\frac{x^{4}}{1+x^{5}}\,dx
fazemos a substituição
t = x^{5}, \quad dt = 5x^{4}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{4}\,dx = \frac{dt}{5}.
Quando x varia de 0 a 1, t varia de 0 a 1.

Passo 5

A integral em t fica
\int_{0}^{1}\frac{x^{4}}{1+x^{5}}\,dx = \int_{0}^{1}\frac{1}{1+t}\,\frac{dt}{5} = \frac{1}{5}\int_{0}^{1}\frac{dt}{1+t} = \frac{1}{5}\bigl[\ln(1+t)\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{5}\ln 2.
Então a integral original é
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}\ln 2 = \frac{\ln 2}{10}.

Resposta

\displaystyle \frac{\ln 2}{10}.

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