Questão 1. Calcule as integrais iteradas:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{x^{2}} \cos x^{3} d y d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x^{2}}\cos\bigl(x^{3}\bigr)\,dy\,dx.
O conteúdo aqui é integração em etapas (Fubini) e uso de substituição simples para resolver a integral em x.

Passo 2

Primeiro integramos em y, lembrando que \cos\bigl(x^{3}\bigr) é constante em relação a y:
\int_{0}^{x^{2}}\cos\bigl(x^{3}\bigr)\,dy =\cos\bigl(x^{3}\bigr)\int_{0}^{x^{2}}dy =\cos\bigl(x^{3}\bigr)\bigl[x\bigr]_{0}^{x^{2}} =x^{2}\cos\bigl(x^{3}\bigr).
Assim a integral original vira
\int_{0}^{1}x^{2}\cos\bigl(x^{3}\bigr)\,dx.

Passo 3

Para calcular
\int_{0}^{1}x^{2}\cos\bigl(x^{3}\bigr)\,dx
fazemos a substituição u=x^{3}, de modo que du=3x^{2}\,dx ou x^{2}\,dx=\tfrac{1}{3}du. Quando x vai de 0 a 1, u vai de 0 a 1. Logo
\int_{0}^{1}x^{2}\cos\bigl(x^{3}\bigr)\,dx =\int_{u=0}^{1}\cos(u)\,\frac{1}{3}du =\frac{1}{3}\int_{0}^{1}\cos(u)\,du =\frac{1}{3}\bigl[\sin(u)\bigr]_{0}^{1} =\frac{\sin(1)}{3}.

Resposta

\frac{\sin(1)}{3}

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