Em uma prova de 10 questões, o aluno deve resolver apenas 8. De quantas maneiras diferentes ele poderá escolher essas 8 questões?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é sobre combinatória, que é a parte da matemática que estuda as diferentes maneiras de organizar ou selecionar elementos. Aqui, temos uma prova com 10 questões e o aluno precisa escolher 8 para resolver. A gente vai usar combinatória para descobrir de quantas formas diferentes ele pode fazer essa escolha.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que quando o aluno está escolhendo 8 questões de um total de 10, a ordem em que ele escolhe não importa. Ou seja, escolher as questões 1, 2, 3, …, 8 é a mesma coisa que escolher 8, 7, 6, …, 1. Isso se chama combinação.

Passo 3

A fórmula para calcular combinações é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Onde:
  • $ n $ é o número total de itens (no caso, 10 questões),
  • $ k $ é o número de itens que queremos escolher (no caso, 8 questões),
  • $ ! $ significa fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula com $ n = 10 $ e $ k = 8 $:
n = 10

Passo 5

Agora, vamos simplificar isso. Sabemos que:
10! = 10 times 9 times 8!
Então,
C(10, 8) = 10 times 9 times 8!8! cdot 2! = 10 times 92! = 902 = 45

Resposta

O aluno pode escolher as 8 questões de 45 maneiras diferentes.

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