Em uma prova de 10 questões, o aluno deve resolver apenas 8. De quantas maneiras diferentes ele poderá escolher essas 8 questões?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão é sobre combinatória, que é a parte da matemática que estuda as diferentes maneiras de organizar ou selecionar elementos. Aqui, temos uma prova com 10 questões e o aluno precisa escolher 8 para resolver. A gente vai usar combinatória para descobrir de quantas formas diferentes ele pode fazer essa escolha.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que quando o aluno está escolhendo 8 questões de um total de 10, a ordem em que ele escolhe não importa. Ou seja, escolher as questões 1, 2, 3, …, 8 é a mesma coisa que escolher 8, 7, 6, …, 1. Isso se chama combinação.
Passo 3
A fórmula para calcular combinações é:
Onde:
- $ n $ é o número total de itens (no caso, 10 questões),
- $ k $ é o número de itens que queremos escolher (no caso, 8 questões),
- $ ! $ significa fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula com $ n = 10 $ e $ k = 8 $:
Passo 5
Agora, vamos simplificar isso. Sabemos que:
Então,
Resposta
O aluno pode escolher as 8 questões de 45 maneiras diferentes.