Seja o triângulo de vértices A(2, x), B(x, 3) e C(1,5). Se a área do triângulo A B C é máxima, então x é igual a:
a) 1
b) -3
c) 4
d) 3

Passo 1

O enunciado dá o triângulo de vértices
A=(2,x),\quad B=(x,3),\quad C=(1,5)
e pede o valor de x que torna a área de ABC máxima. O conteúdo envolvido é geometria analítica: calculamos a área via determinante e obtemos uma função quadrática de x, depois encontramos seu vértice.

Passo 2

A área orientada (duas vezes a área) é dada por
\Delta(x) = x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)
com (x_1,y_1)=(2,x), (x_2,y_2)=(x,3), (x_3,y_3)=(1,5). Logo
\Delta(x) =2\,(3-5)+x\,(5 - x)+1\,(x-3) =-x^2+6x-7.

Passo 3

A área do triângulo é \tfrac12|\Delta(x)|. Definimos a função quadrática
f(x)=-x^2+6x-7,
de modo que \text{Área}(x)=\tfrac12|f(x)|Á.

Passo 4

Para maximizar a área orientada (isto é, maximizar f(x) enquanto f(x) for positivo), basta achar o vértice da parábola f(x). Como f(x)=-x^2+6x-7, o eixo de simetria é
x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2\cdot(-1)}=3.

Passo 5

Em x=3 temos
f(3)=-9+18-7=2>0,
logo a área \tfrac12f(3)=1 é efetivamente um máximo local de \tfrac12|f(x)| no intervalo em que f(x) é positivo.

Resposta

3

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