(1) (2,0 pontos) (b) Utilize o resultado anterior para calcular o dipolo magnético de uma esfera de carga Q e raio R que gira com freqüência angular constante omega em torno de seu eixo.

Passo 1

Beleza, o exercício quer que a gente use o resultado do item anterior (que era a “momento magnético de uma espira circular” ) para achar o momento dipolar magnético de uma esfera de carga total , raio e que gira com velocidade angular . Isso é parte de Eletromagnetismo (correntes e momento magnético). Vamos precisar:
  • Saber que a esfera girando é como muitas espiras empilhadas.
  • Usar densidade de carga de superfície e a fórmula de cada espira.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que toda a carga sigma = Q4pi R^2, está na casca (superfície) da esfera. A densidade de carga de superfície é
a = Rsintheta
Agora imagine a casca dividida em “anéis” de largura angular . Cada anel fica na latitude (medida desde o polo) e tem raio

Passo 3

A área desse anel é
dA = (circunferência)times(largura) = (2pi a),(R,dtheta) = 2pi R^2sintheta,dtheta ê
Logo a carga nesse anel é
dQ = sigma,dA = Q4pi R^2;2pi R^2sintheta,dtheta = Q2,sintheta,dtheta

Passo 4

Essa carga dI = dQperíodo = dQ;omega2pi circula com frequência angular dmu = dI times (área do anel) = l(dQ,omega2pir)times pi a^2 = dQ,omega,R^2sin^2theta2 , o que equivale a uma corrente
dmu = omega R^22,l(Q2sintheta,dthetar),sin^2theta = Q,omega,R^24,sin^3theta,dtheta í
O momento magnético de uma única espira (o anel) vale
á
Substituindo :

Passo 5

Agora integrou mu ;=;integral0^pi dmu = Q,omega,R^24 integral0^pisin^3theta,dtheta de mu = Q,omega,R^24;43 = Q,omega,R^23 até :
Sabendo que , vem

Resposta

boxedmu = Q,omega,R^23
O vetor fica apontando ao longo do eixo de rotação.

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