2- (3,0 pontos) Uma bola de futebol de massa igual a 0,5 \mathrm{Kg} está pendurada em um fio de 1 m de comprimento. Quando a bola está parada alguém dá um soco conferindo ao objeto uma velocidade inicial v. a) Escreva a o deslocamento angular da bola em função do tempo. b) Qual a amplitude máxima alcançada pela bola (em função de v )? c) Considerando v=4,6 \mathrm{m} / \mathrm{s} qual é o ângulo máximo alcançado pelo pêndulo? Calcule o seno desse ângulo e compare com o ângulo. O movimento desse pêndulo pode ser considerado harmônico? Explique.

Passo 1

O enunciado descreve um pêndulo simples de massa m=0{,}5\:\mathrm{kg} e comprimento L=1\:\mathrm{m}. Alguém dá um impulso fazendo a bola partir de \theta=0 com velocidade tangencial inicial v. Queremos:
– (a) escrever o deslocamento angular \theta(t);
– (b) achar a amplitude máxima \Theta_{\max} em função de v;
– (c) para v=4{,}6\:\mathrm{m/s}, calcular \Theta_{\max}, \sin(\Theta_{\max}) e comparar \sin\Theta_{\max} com \Theta_{\max}, concluindo se cabe usar a aproximação de movimento harmônico simples.

Passo 2

Para pequenos deslocamentos, a equação de movimento do pêndulo é
\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\,\theta = 0,
onde g=9{,}8\:\mathrm{m/s^2}. Denotando
\omega = \sqrt{\frac{g}{L}},
a solução geral é
\theta(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t).

Passo 3

Em t=0 sabemos que \theta(0)=0 e a velocidade angular é
\dot\theta(0)=\frac{v}{L}.
Da condição \theta(0)=0 vem A=0. Derivando e avaliando em t=0
\dot\theta(0)=B\,\omega = \frac{v}{L}\quad\Longrightarrow\quad B = \frac{v}{\omega\,L}.
Portanto
\theta(t) = \frac{v}{\omega\,L}\,\sin(\omega t).
Isto responde (a).

Passo 4

A amplitude máxima ocorre quando \sin(\omega t)=1, logo
\Theta_{\max} = \frac{v}{\omega\,L} = \frac{v}{L\sqrt{g/L}} = \frac{v}{\sqrt{g\,L}}.
Isto responde (b).

Passo 5

Para v=4{,}6\:\mathrm{m/s}, L=1\:\mathrm{m} e g=9{,}8\:\mathrm{m/s^2}:
\Theta_{\max} = \frac{4{,}6}{\sqrt{9{,}8\cdot1}} \approx \frac{4{,}6}{3{,}1305} \approx 1{,}47\:\text{rad} \approx 84{,}3^\circ.

Passo 6

Calculando
\sin(\Theta_{\max}) = \sin(1{,}47)\approx 0{,}995.
Comparando com \Theta_{\max}\approx1{,}47, vemos que
\sin(\Theta_{\max})\not\approx \Theta_{\max},
pois para pequeno ângulo precisaríamos \sin\Theta\approx\Theta. Aqui a diferença é grande, então a aproximação de oscilação harmônica simples (pequenos ângulos) não se justifica.

Resposta

(a) \displaystyle \theta(t)=\frac{v}{\omega\,L}\,\sin\bigl(\omega t\bigr), com \omega=\sqrt{g/L}.
(b) \displaystyle \Theta_{\max}=\frac{v}{\sqrt{g\,L}}.
(c) Para v=4{,}6\:\mathrm{m/s}, \Theta_{\max}\approx1{,}47\:\text{rad}, \sin(\Theta_{\max})\approx0{,}995, e como \sin\Theta_{\max}\not\approx\Theta_{\max}, o movimento não cabe ser tratado como harmônico simples.

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