2- (3,0 pontos) Uma bola de futebol de massa igual a
está pendurada em um fio de 1 m de comprimento. Quando a bola está parada alguém dá um soco conferindo ao objeto uma velocidade inicial
. a) Escreva a o deslocamento angular da bola em função do tempo. b) Qual a amplitude máxima alcançada pela bola (em função de
)? c) Considerando
qual é o ângulo máximo alcançado pelo pêndulo? Calcule o seno desse ângulo e compare com o ângulo. O movimento desse pêndulo pode ser considerado harmônico? Explique.
Passo 1
O enunciado descreve um pêndulo simples de massa
e comprimento
. Alguém dá um impulso fazendo a bola partir de
com velocidade tangencial inicial
. Queremos:
– (a) escrever o deslocamento angular ;
– (b) achar a amplitude máxima em função de
;
– (c) para , calcular
,
e comparar
com
, concluindo se cabe usar a aproximação de movimento harmônico simples.
– (a) escrever o deslocamento angular
– (b) achar a amplitude máxima
– (c) para
Passo 2
Para pequenos deslocamentos, a equação de movimento do pêndulo é
onde
. Denotando
a solução geral é
Passo 3
Em
sabemos que
e a velocidade angular é
Da condição
vem
. Derivando e avaliando em
dá
Portanto
Isto responde (a).
Passo 4
A amplitude máxima ocorre quando
, logo
Isto responde (b).
Passo 5
Para
,
e
:
Passo 6
Calculando
Comparando com
, vemos que
pois para pequeno ângulo precisaríamos
. Aqui a diferença é grande, então a aproximação de oscilação harmônica simples (pequenos ângulos) não se justifica.
Resposta
(a)
, com
.
(b) .
(c) Para ,
,
, e como
, o movimento não cabe ser tratado como harmônico simples.
(b)
(c) Para