1- ( 3,0 pontos) Um oscilador harmônico amortecido consiste em um bloco ( m=2,00 \mathrm{~kg} ), uma mola (\mathrm{k}=10,0 \mathrm{~N} / \mathrm{m}) e uma força de amortecimento \mathrm{F}=- bv. Inicialmente, ele oscila com uma amplitude de 25,0 \mathrm{~cm}; devido ao amortecimento, a amplitude é reduzida para três quartos do seu valor inicial, quando são completadas quatro oscilações. (a) Qual o tipo de amortecimento? (b) Qual o valor de b ? (c) Quanta energia foi “perdida” durante essas oscilações?
(considere que a alteração na frequência natural é desprezível)

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador harmônico amortecido com massa m=2{,}00\\ \text{kg}, constante elástica k=10{,}0\\ \text{N/m} e força de amortecimento F=-b\,v. A amplitude inicial é A_0=0{,}25\\ \text{m} e, após quatro oscilações, cai para A_4=\tfrac{3}{4}A_0. Precisamos (a) identificar o tipo de amortecimento, (b) calcular o coeficiente b e (c) determinar a energia perdida em quatro oscilações. Vamos usar o modelo subamortecido com envoltória A(t)=A_0 e^{-\,\tfrac{b}{2m}t} e a energia elétrica da mola E=\tfrac12kA^2.

Passo 2

Como o sistema continua oscilando enquanto a amplitude decai exponencialmente, ele está em regime subamortecido (amortecimento subcrítico). Em regimes crítico ou supercrítico não haveria oscilações livres.

Passo 3

A envoltória da amplitude satisfaz
\frac{A(t)}{A_0}=e^{-\frac{b}{2m}t}.
Para t=4T com o período T=2\pi\sqrt{\tfrac{m}{k}}, impomos
e^{-\frac{b}{2m}\,4T}=\frac{3}{4}.
Isolando b vem
b=\frac{m\ln\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)}{2T}.
Calculando
T=2\pi\sqrt{\frac{2}{10}}\approx2{,}809\\ \text{s},
b\approx\frac{2\times0{,}2877}{2\times2{,}809}\approx0{,}102\\ \text{N\cdots/m}.

Passo 4

A energia inicial armazenada na mola é
E_0=\tfrac12\,kA_0^2=\tfrac12\times10\times(0{,}25)^2=0{,}3125\\ \text{J}.
Após quatro oscilações a nova amplitude é A_4=\tfrac{3}{4}A_0, logo
E_4=\tfrac12\,kA_4^2=\tfrac12\,k\Bigl(\tfrac{3}{4}A_0\Bigr)^2=\frac{9}{16}E_0.
A energia perdida é
\Delta E=E_0-E_4=E_0\Bigl(1-\tfrac{9}{16}\Bigr)=\tfrac{7}{16}E_0\approx0{,}137\\ \text{J}.

Resposta

(a) Amortecimento subcrítico (subamortecido).
(b) b\approx0{,}102\\ \text{N\cdots/m}.
(c) \Delta E\approx0{,}137\\ \text{J}.

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