(2 pontos cada) Escolha cinco limites para resolver:
lim x 2 x^3-2 x^2+5 x-106 x-12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem a seguinte expressão:
lim x 2 x^3-2 x^2+5 x-106 x-12
Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, mais especificamente lidando com limites onde substituição direta dá uma forma indeterminada. Para resolver, vamos precisar usar fatoração de polinômios e simplificação de frações.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor de $ x = 2 $ diretamente na expressão para ver o que acontece:
No numerador:
x = 2
No denominador:
2^3 - 2 cdot 2^2 + 5 cdot 2 - 10 = 8 - 8 + 10 - 10 = 0
Então, $ \frac{0}{0} $ é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para simplificar, vamos fatorar o numerador. Sabemos que se $ x = 2 $ faz o numerador ser zero, então $ (x - 2) $ é um fator do numerador. Vamos usar a divisão sintética para encontrar os outros fatores.
Dividindo $ x^{3} - 2x^{2} + 5x - 10 $ por $ (x - 2) $:
x = 2
Isso nos dá o polinômio $ x^{2} + 5 $, então:
(x - 2)

Passo 4

Agora, substituímos de volta na expressão original:
(x - 2)(x^2 + 5)6(x - 2)
Perceba que $ (x - 2) $ está tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar:
(x - 2)

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo $ x = 2 $:
x = 2

Resposta

O limite é igual a $ \frac{3}{2} $.

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