(2,5 pontos) Calcular a força requerida para segurar um esguicho de mangueíra de incêndio que tem 63 mm de diâmetro na entrada e 19 mm na saída, quando este está despejando 4,0 \mathrm{l} / \mathrm{s} de águu para atmosfera. Considerar desprezivel a perda de carga no bocal.

Passo 1

O enunciado pede a força que nós, mantendo o bocal parado, precisamos fazer para equilibrar o jato de água que sai do bocal. O conteúdo aqui é a aplicação da conservação de quantidade de movimento (impulso) num escoamento estacionário: a força externa sobre o controle volumétrico é igual à variação de momento do fluido. Vamos precisar de:
  1. Vazão volumétrica Q=4{,}0\\ \mathrm{L/s}=4{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s}.
  2. Diâmetros de entrada D_1=63\\ \mathrm{mm} e saída D_2=19\\ \mathrm{mm}.
  3. Densidade da água \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 2

Calcular as velocidades médias de entrada e saída do bocal usando v = \tfrac{Q}{A}, onde A=\tfrac{\pi D^2}{4}.
Para a entrada:
A_1 = \frac{\pi (0{,}063)^2}{4},\quad v_1 = \frac{4{,}0\times10^{-3}}{A_1}.
Para a saída:
A_2 = \frac{\pi (0{,}019)^2}{4},\quad v_2 = \frac{4{,}0\times10^{-3}}{A_2}.

Passo 3

Determinar numericamente v_1 e v_2.
A_1 = \frac{\pi (0{,}063)^2}{4}\approx0{,}00312\\ \mathrm{m^2},\quad v_1 = \frac{4{,}0\times10^{-3}}{0{,}00312}\approx1{,}28\\ \mathrm{m/s}.
A_2 = \frac{\pi (0{,}019)^2}{4}\approx0{,}0002839\\ \mathrm{m^2},\quad v_2 = \frac{4{,}0\times10^{-3}}{0{,}0002839}\approx14{,}1\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular a força de reação no bocal aplicando o balanço de quantidade de movimento numa direção alinhada com o jato:
F = \dot m \,(v_2 - v_1),
onde \dot m = \rho\,Q.
Logo,
\dot m = 1000\cdot4{,}0\times10^{-3}=4{,}0\\ \mathrm{kg/s},
F = 4{,}0\,(14{,}1 - 1{,}28)\approx4{,}0\times12{,}82=51{,}3\\ \mathrm{N}.

Resposta

A força requerida para segurar o esguicho é aproximadamente 51\\ \mathrm{N}.

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