(2,0 pontos) Calcular a integral definida
\int_{0}^{3} x \sqrt{1+x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{3} x\sqrt{1+x}\,dx.
O conteúdo principal é a técnica de substituição em integrais. Vamos usar a mudança de variável para simplificar a raiz e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 1 + x,
então
du = dx \quad\text{e}\quad x = u - 1.
Quando x=0, u=1; quando x=3, u=4. Substituindo na integral:
\int_{0}^{3} x\sqrt{1+x}\,dx = \int_{u=1}^{u=4} (u-1)\sqrt{u}\,du = \int_{1}^{4}\bigl(u\sqrt{u}-\sqrt{u}\bigr)\,du.

Passo 3

Escrevendo as potências, temos
u\sqrt{u} = u^{1+\tfrac12}=u^{3/2}, \quad \sqrt{u}=u^{1/2}.
Logo a integral vira
\int_{1}^{4}\bigl(u^{3/2}-u^{1/2}\bigr)\,du.
Integramos termo a termo usando a regra \int u^p\,du=\frac{u^{p+1}}{p+1}:
\int u^{3/2}\,du = \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}\,u^{5/2}, \quad \int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}\,u^{3/2}.
Portanto o antiderivado é
F(u)=\frac{2}{5}\,u^{5/2}-\frac{2}{3}\,u^{3/2}.

Passo 4

Agora avaliamos de u=1 até u=4:
F(4) = \frac{2}{5}\,4^{5/2} - \frac{2}{3}\,4^{3/2}, \quad F(1) = \frac{2}{5}\,1^{5/2} - \frac{2}{3}\,1^{3/2}.
Como 4^{1/2}=2, temos 4^{5/2}=2^5=32 e 4^{3/2}=2^3=8. Então
F(4)=\frac{2}{5}\cdot32 - \frac{2}{3}\cdot8 = \frac{64}{5}-\frac{16}{3} = \frac{192-80}{15} = \frac{112}{15},
F(1)=\frac{2}{5}-\frac{2}{3} = \frac{6-10}{15} = -\frac{4}{15}.
A integral definida vale
F(4)-F(1)=\frac{112}{15} - \bigl(-\tfrac{4}{15}\bigr) = \frac{116}{15}.

Resposta

\frac{116}{15}.

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