Trace o gráfico das seguintes equaçōes polares:
Passo 1
O enunciado pede para traçarmos o gráfico da curva polar dada por
O conteúdo aqui é reconhecer que essa forma lembra a lemniscata de Bernoulli, cujo caso padrão é
, e então ajustar para o sinal negativo. Vamos precisar de trigonometria em coordenadas polares e saber converter para a forma cartesiana, se quisermos ver a curva em
.
Passo 2
Para que
seja real precisamos ter
Isso ocorre quando
ou seja
Passo 3
Isolando
obtemos
Para fazer o gráfico em polar, escolhemos o sinal “
” e variamos
nos intervalos em que
. Cada escolha de
fornece um ponto
. Note que em
ou
temos
e, portanto,
, que são as “pontas” máximas dos dois lóbulos.
Passo 4
Para entender melhor a forma, convertemos para cartesianas usando
Substituindo em
dá
Isso é justamente a equação cartesiana de uma lemniscata com parâmetro
, mas “virada” de modo que os lóbulos fiquem ao longo da reta
.
Passo 5
Resumindo o gráfico:
- É uma lemniscata de Bernoulli com “raio” máximo
. - Os dois lóbulos estão centrados nas direções
(segundo quadrante) e (quarto quadrante), ao longo da reta . - Para
, não há pontos ( seria imaginário).
Resposta
O gráfico é uma lemniscata de Bernoulli com parâmetro
, girada de modo que seus dois lóbulos fiquem sobre a reta
, com “raio” máximo
nas direções
e
.