Trace o gráfico das seguintes equaçōes polares:
r^{2}=-16 \operatorname{sen} 2 \theta

Passo 1

O enunciado pede para traçarmos o gráfico da curva polar dada por
r^{2} = -16 \,\operatorname{sen} 2\theta.
O conteúdo aqui é reconhecer que essa forma lembra a lemniscata de Bernoulli, cujo caso padrão é r^{2}=a^{2}\sen2\theta, e então ajustar para o sinal negativo. Vamos precisar de trigonometria em coordenadas polares e saber converter para a forma cartesiana, se quisermos ver a curva em (x,y).

Passo 2

Para que r seja real precisamos ter
r^{2}\ge0 \quad\Longrightarrow\quad -16\,\sen2\theta\ge0 \quad\Longrightarrow\quad \sen2\theta\le0.
Isso ocorre quando
2\theta\in[\pi,2\pi]\cup[\;-\pi,0\;],
ou seja
\theta\in\Bigl[\tfrac{\pi}{2},\pi\Bigr]\cup\Bigl[\;-\tfrac{\pi}{2},0\Bigr].

Passo 3

Isolando r obtemos
r = \pm 4\,\sqrt{-\,\sen2\theta}.
Para fazer o gráfico em polar, escolhemos o sinal “ +” e variamos \theta nos intervalos em que \sen2\theta\le0. Cada escolha de \theta fornece um ponto (r,\theta). Note que em \theta=3\pi/4 ou \theta=-\pi/4 temos \sen2\theta=-1 e, portanto, r=4, que são as “pontas” máximas dos dois lóbulos.

Passo 4

Para entender melhor a forma, convertemos para cartesianas usando
x = r\cos\theta,\quad y = r\operatorname{sen}\theta,\quad \sen2\theta = \frac{2\,\operatorname{sen}\theta\cos\theta}{1} = \frac{2xy}{r^{2}}.
Substituindo em r^{2}=-16\sen2\theta
r^{2} = -16\cdot\frac{2xy}{r^{2}} \quad\Longrightarrow\quad (r^{2})^{2} = -32\,xy \quad\Longrightarrow\quad (x^{2}+y^{2})^{2} = -32\,xy.
Isso é justamente a equação cartesiana de uma lemniscata com parâmetro a=4, mas “virada” de modo que os lóbulos fiquem ao longo da reta y=-x.

Passo 5

Resumindo o gráfico:
  • É uma lemniscata de Bernoulli com “raio” máximo 4.
  • Os dois lóbulos estão centrados nas direções \theta=3\pi/4 (segundo quadrante) e \theta=-\pi/4 (quarto quadrante), ao longo da reta y=-x.
  • Para \theta\notin[\tfrac{\pi}{2},\pi]\cup[-\tfrac{\pi}{2},0], não há pontos ( r seria imaginário).

Resposta

O gráfico é uma lemniscata de Bernoulli com parâmetro a=4, girada de modo que seus dois lóbulos fiquem sobre a reta y=-x, com “raio” máximo r=4 nas direções \theta=3\pi/4 e \theta=-\pi/4.

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