(2,0 pontos) Resolver a integral
usando o método de integração por partes.
\int x \sqrt{x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x \sqrt{x+1}\,dx
usando o método de integração por partes. Aqui o conteúdo é escolher u e dv, aplicar a fórmula
\int u\,dv = u v - \int v\,du
e conhecer a primitiva de \sqrt{x+1}.

Passo 2

Escolho
u = x \quad\text{e}\quad dv = \sqrt{x+1}\,dx.
Então calculo
du = dx \quad\text{e}\quad v = \int \sqrt{x+1}\,dx.

Passo 3

Para achar v, faço a substituição simples t = x+1, logo dt = dx, e
v = \int \sqrt{t}\,dt = \int t^{1/2}\,dt = \frac{2}{3}t^{3/2} + C = \frac{2}{3}(x+1)^{3/2}.

Passo 4

Agora aplico a fórmula de partes:
\int x\sqrt{x+1}\,dx = u\,v - \int v\,du = x \cdot \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} - \int \frac{2}{3}(x+1)^{3/2}\,dx.

Passo 5

Falta calcular
\int (x+1)^{3/2}\,dx.
De novo com t=x+1, dt=dx:
\int t^{3/2}\,dt = \frac{2}{5}t^{5/2} = \frac{2}{5}(x+1)^{5/2}.
Logo
\int \frac{2}{3}(x+1)^{3/2}\,dx = \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{5}(x+1)^{5/2} = \frac{4}{15}(x+1)^{5/2}.

Passo 6

Substituindo de volta:
\int x\sqrt{x+1}\,dx = \frac{2}{3}x(x+1)^{3/2} - \frac{4}{15}(x+1)^{5/2} + C.
Podemos também fatorar (x+1)^{3/2}:
\frac{2}{3}x - \frac{4}{15}(x+1) = \frac{10x -4(x+1)}{15} = \frac{6x-4}{15} = \frac{2(3x-2)}{15},
ficando
\int x\sqrt{x+1}\,dx = \frac{2}{15}(3x-2)(x+1)^{3/2} + C.

Resposta

\int x\sqrt{x+1}\,dx = \frac{2}{3}x(x+1)^{3/2} - \frac{4}{15}(x+1)^{5/2} + C
ou, equivalentemente,
\frac{2}{15}(3x-2)(x+1)^{3/2} + C.

Exercícios relacionados