(2,0 pontos) Calcular a integral
usando o método da substituição.
\int 8 x^{2} \sqrt{6 x^{3}+5} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 8x^{2}\sqrt{6x^{3}+5}\,dx
Usaremos o método da substituição, que consiste em escolher uma expressão u=u(x) de modo que a integral em x vire uma integral mais simples em u.

Passo 2

Escolhemos
u = 6x^{3} + 5.
Então
\frac{du}{dx} = 18x^{2} \quad\Longrightarrow\quad du = 18x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{du}{18}.

Passo 3

Substituímos na integral original:
\int 8x^{2}\sqrt{6x^{3}+5}\,dx = \int 8\sqrt{u}\,\bigl(x^{2}\,dx\bigr) = \int 8\sqrt{u}\,\frac{du}{18} = \frac{8}{18}\int u^{1/2}\,du = \frac{4}{9}\int u^{1/2}\,du.
Agora integramos em u:
\frac{4}{9}\int u^{1/2}\,du = \frac{4}{9}\cdot \frac{u^{3/2}}{\tfrac{3}{2}} = \frac{4}{9}\cdot \frac{2}{3}\,u^{3/2} = \frac{8}{27}\,u^{3/2}.

Passo 4

Voltando à variável x, temos
u^{3/2} = \bigl(6x^{3}+5\bigr)^{3/2},
logo a primitiva geral é
\frac{8}{27}\bigl(6x^{3}+5\bigr)^{3/2} + C.

Resposta

\int 8x^{2}\sqrt{6x^{3}+5}\,dx = \frac{8}{27}\bigl(6x^{3}+5\bigr)^{3/2} + C.

Exercícios relacionados