(valor 4,0 pontos). Calcule o valor da integral:
.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral
Estamos em cálculo de primitivas (integrais indefinidas) com expoente que envolve a própria variável. Para resolver, vamos usar a substituição
pois isso transforma o expoente num termo “linear” em
e o
vira algo em
.
Passo 2
Façamos a substituição
. Então
Derivando ambos os lados em relação a
,
Passo 3
Reescrevemos o integrando
Logo
E como
o integrando em
fica
Passo 4
Precisamos agora mudar os limites. Quando
Quando
Portanto a integral original vira
Passo 5
Para essa integral em
reconhecemos que é da forma
Uma primitiva é
De fato, diferenciando:
ou seja,
ou seja,
Levando em conta esse ajuste de escala, a primitiva certa para
é
Passo 6
Voltando aos limites em
, a integral vale
Calculando os radicais:
, e
. Assim
Então