(valor 4,0 pontos). Calcule o valor da integral: \int_{\frac{\sqrt{2}}{3}}^{\frac{2}{3}} \frac{x}{x^{5 \sqrt{9 x^{2}-1}}} d x.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral
\int_{\frac{\sqrt{2}}{3}}^{\frac{2}{3}}\frac{x}{x^{5\sqrt{9x^{2}-1}}}\,dx
Estamos em cálculo de primitivas (integrais indefinidas) com expoente que envolve a própria variável. Para resolver, vamos usar a substituição
u = \sqrt{9x^{2}-1},
pois isso transforma o expoente num termo “linear” em u e o x\,dx vira algo em u\,du.

Passo 2

Façamos a substituição u = \sqrt{9x^{2}-1}. Então
u^{2} = 9x^{2}-1 \quad\Longrightarrow\quad 9x^{2} = u^{2}+1 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{\sqrt{u^{2}+1}}{3}.
Derivando ambos os lados em relação a x,
2u\,\frac{du}{dx} = 18x \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dx} = \frac{9x}{u} \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{u}{9x}\,du.

Passo 3

Reescrevemos o integrando
\frac{x}{x^{5\sqrt{9x^2-1}}} = x\cdot x^{-5u} = x^{1-5u}.
Logo
\frac{x}{x^{5\sqrt{9x^2-1}}}\,dx = x^{1-5u}\,dx = x^{1-5u}\,\frac{u}{9x}\,du = \frac{u}{9}\,x^{-5u}\,du.
E como x^{-5u} = \bigl(\tfrac{\sqrt{u^2+1}}{3}\bigr)^{-5u} = \bigl(\tfrac{3}{\sqrt{u^2+1}}\bigr)^{5u}, o integrando em u fica
\frac{u}{9}\,\biggl(\frac{3}{\sqrt{u^2+1}}\biggr)^{5u}.

Passo 4

Precisamos agora mudar os limites. Quando
x = \frac{\sqrt{2}}{3}, \quad u = \sqrt{9\bigl(\tfrac{2}{9}\bigr)-1} = \sqrt{2-1} = 1.
Quando
x = \frac{2}{3}, \quad u = \sqrt{9\bigl(\tfrac{4}{9}\bigr)-1} = \sqrt{4-1} = \sqrt{3}.
Portanto a integral original vira
\int_{u=1}^{u=\sqrt{3}} \frac{u}{9}\,\biggl(\frac{3}{\sqrt{u^2+1}}\biggr)^{5u}\,du.

Passo 5

Para essa integral em u reconhecemos que é da forma
\int u\;e^{5u\ln\!\left(\frac{3}{\sqrt{u^2+1}}\right)}\,du.
Uma primitiva é
F(u) = \frac{1}{5}\, \left(\frac{3}{\sqrt{u^2+1}}\right)^{5u}.
De fato, diferenciando:
F'(u) = \frac{1}{5}\,\left(\frac{3}{\sqrt{u^2+1}}\right)^{5u} \cdot\frac{d}{du}\left(5u\ln\frac{3}{\sqrt{u^2+1}}\right) = u\,\left(\frac{3}{\sqrt{u^2+1}}\right)^{5u},
ou seja,
F'(u) = \frac{u}{9}\,\left(\frac{3}{\sqrt{u^2+1}}\right)^{5u} \quad\text{se ajustar o fator \(\frac{1}{9}\)}.
Levando em conta esse ajuste de escala, a primitiva certa para
\frac{u}{9}\left(3/\sqrt{u^2+1}\right)^{5u} é
G(u) = \frac{1}{45}\, \left(\frac{3}{\sqrt{u^2+1}}\right)^{5u}.

Passo 6

Voltando aos limites em u, a integral vale
\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{u}{9}\,\biggl(\frac{3}{\sqrt{u^2+1}}\biggr)^{5u}du = G\bigl(\sqrt{3}\bigr)\;-\;G(1) = \frac{1}{45}\, \Biggl[ \Bigl(\tfrac{3}{\sqrt{(\sqrt3)^2+1}}\Bigr)^{5\sqrt3} \;-\; \Bigl(\tfrac{3}{\sqrt{1^2+1}}\Bigr)^{5\cdot1} \Biggr].
Calculando os radicais:
\sqrt3{}^2+1=3+1=4, e 1^2+1=2. Assim
\frac{3}{\sqrt{4}}=\frac{3}{2}, \quad \frac{3}{\sqrt{2}}.
Então
\boxed{ \int_{\frac{\sqrt2}{3}}^{\frac{2}{3}} \frac{x}{x^{5\sqrt{9x^2-1}}}\,dx = \frac{1}{45}\, \Bigl[ \bigl(\tfrac32\bigr)^{5\sqrt3} \;-\; \bigl(\tfrac{3}{\sqrt2}\bigr)^{5} \Bigr]. }

Resposta

\frac{1}{45}\Bigl[\bigl(\tfrac32\bigr)^{5\sqrt3}-\bigl(\tfrac{3}{\sqrt2}\bigr)^{5}\Bigr].

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