( 3,0 pontos) Calcule a massa de um arame fino com densidade linear \rho(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} \mathrm{e} com formato da hélice dada por \vec{r}(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t, 2 t) do ponto (1,0,0) ao ponto (-1,0,2 \pi).

Passo 1

O enunciado pede a massa de um arame fino cuja densidade linear varia com a posição segundo
\rho(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}
e cujo formato é uma hélice parametrizada por
\vec r(t)=(\cos t,\sin t,2t)
do ponto (1,0,0) ao ponto (-1,0,2\pi).
O conteúdo aqui é integral de linha de uma função escalar (densidade) ao longo de uma curva:
m=\int_{C}\rho\,ds
que, em forma paramétrica, vira
m=\int_{a}^{b}\rho\bigl(r(t)\bigr)\,\bigl\|\vec r\,'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Determinar o intervalo de parâmetro e a velocidade da curva.
Como em t=0 temos \vec r(0)=(1,0,0) e em t=\pi temos \vec r(\pi)=(-1,0,2\pi), o parâmetro varia de
t=0\quad\text{até}\quad t=\pi.é
A derivada é
\vec r\,'(t)=(-\sin t,\cos t,2),
logo o seu módulo é
\bigl\|\vec r\,'(t)\bigr\|=\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t+2^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.

Passo 3

Calcular a densidade ao longo da curva, substituindo \vec r(t) em \rho:
\rho\bigl(r(t)\bigr) =\bigl(\cos^{2}t+\sin^{2}t+(2t)^{2}\bigr) =1+4t^{2}.

Passo 4

Montar a integral para a massa:
m =\int_{0}^{\pi}\rho\bigl(r(t)\bigr)\,\bigl\|\vec r\,'(t)\bigr\|\,dt =\int_{0}^{\pi}(1+4t^{2})\sqrt{5}\,dt =\sqrt{5}\int_{0}^{\pi}\bigl(1+4t^{2}\bigr)\,dt.

Passo 5

Calcular as integrais elementares:
\int_{0}^{\pi}1\,dt=\pi, \qquad \int_{0}^{\pi}t^{2}\,dt=\frac{\pi^{3}}{3}.
Logo
m =\sqrt{5}\Bigl(\pi+4\cdot\frac{\pi^{3}}{3}\Bigr) =\sqrt{5}\,\frac{3\pi+4\pi^{3}}{3}.

Resposta

m=\frac{\sqrt{5}}{3}\,\bigl(3\pi+4\pi^{3}\bigr).

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