( 3,0 pontos) Calcule a massa de um arame fino com densidade linear \rho(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} \mathrm{e} com formato da hélice dada por \vec{r}(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t, 2 t) do ponto (1,0,0) ao ponto (-1,0,2 \pi).
Passo 1
O enunciado pede a massa de um arame fino cuja densidade linear varia com a posição segundo
\rho(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}
e cujo formato é uma hélice parametrizada por
\vec r(t)=(\cos t,\sin t,2t)
do ponto (1,0,0) ao ponto (-1,0,2\pi).
O conteúdo aqui é integral de linha de uma função escalar (densidade) ao longo de uma curva:
Determinar o intervalo de parâmetro e a velocidade da curva.
Como em t=0 temos \vec r(0)=(1,0,0) e em t=\pi temos \vec r(\pi)=(-1,0,2\pi), o parâmetro varia de
m =\int_{0}^{\pi}\rho\bigl(r(t)\bigr)\,\bigl\|\vec r\,'(t)\bigr\|\,dt =\int_{0}^{\pi}(1+4t^{2})\sqrt{5}\,dt =\sqrt{5}\int_{0}^{\pi}\bigl(1+4t^{2}\bigr)\,dt.