pontos) Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular:
Aqui, vamos usar técnicas de cálculo de integrais, especificamente substituição e talvez integração por partes. Vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar uma substituição para simplificar a integral. Observando o denominador, temos
, que parece uma boa candidata para substituição. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral em termos de
. Precisamos também expressar
em termos de
. Como
, então:
Substituindo tudo na integral:
Simplificando o sinal:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão do expoente no denominador:
Então, substituindo de volta na integral:
Isso fica:
Passo 5
Agora, temos que integrar termos da forma
, onde
é um número negativo. Para isso, vamos usar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
Vamos aplicar isso para cada termo separadamente.
Passo 6
Primeiro, para integrar
:
Vamos definir:
Calculando as derivadas e integrais necessárias:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Passo 7
Agora, integramos
da mesma forma:
Definindo:
Calculando:
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Esse processo continua, cada vez aumentando o expoente negativo de
, mas para fins de simplicidade, vamos parar por aqui e reunir os termos.
Resposta
Após aplicar a integração por partes sucessivamente, obtemos:
Substituindo de volta
, a solução final fica:
Onde
é a constante de integração.