( 3,0 pontos) Calcule a área da região interna da curva r=1+cos theta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área da região interna da curva definida por $ r = 1 + \cos \theta $. Aqui, estamos lidando com geometria no sistema de coordenadas polares. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de área em coordenadas polares e entender como aplicá-la nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, lembremos qual é a fórmula para calcular a área $ A $ de uma região delimitada por uma curva em coordenadas polares:
A
Nesse caso, $ r = 1 + \cos \theta $. Como queremos a área completa da curva, precisamos integrar de $ \theta = 0 $ até $ \theta = 2\pi $, que é o ciclo completo de $ \theta $ para fechar a curva.

Passo 3

Vamos substituir $ r $ na fórmula:
r
Agora, vamos expandir o quadrado dentro da integral:
A = 12 integral0^2pi (1 + cos theta)^2 , dtheta
Então, a integral fica:
(1 + cos theta)^2 = 1 + 2cos theta + cos^2 theta

Passo 4

Vamos separar a integral em partes mais simples:
A = 12 [ integral0^2pi 1 , dtheta + 2 integral0^2pi cos theta , dtheta + integral0^2pi cos^2 theta , dtheta ]
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais individualmente:
  1. $ \int_{0}^{2\pi} 1 , d\theta = 2\pi $
  2. $ \int_{0}^{2\pi} \cos \theta , d\theta = 0 $ (porque o cosseno é uma função periódica que se anula no ciclo completo)
  3. $ \int_{0}^{2\pi} \cos^2 \theta , d\theta $
Para a terceira integral, usamos uma identidade trigonométrica para facilitar:
integral0^2pi 1 , dtheta = 2pi
Então:
integral0^2pi cos theta , dtheta = 0

Passo 5

Agora, substituímos os resultados das integrais de volta na expressão da área:
A = 12 [ 2pi + 0 + pi ] = 12 times 3pi = 3pi2

Resposta

A área da região interna da curva $ r = 1 + \cos \theta $ é $ \frac{3\pi}{2} $ unidades de área.

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