( 3,0 pontos) Calcule a área da região interna da curva
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área da região interna da curva definida por $ r = 1 + \cos \theta $. Aqui, estamos lidando com geometria no sistema de coordenadas polares. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de área em coordenadas polares e entender como aplicá-la nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, lembremos qual é a fórmula para calcular a área $ A $ de uma região delimitada por uma curva em coordenadas polares:
Nesse caso, $ r = 1 + \cos \theta $. Como queremos a área completa da curva, precisamos integrar de $ \theta = 0 $ até $ \theta = 2\pi $, que é o ciclo completo de $ \theta $ para fechar a curva.
Passo 3
Vamos substituir $ r $ na fórmula:
Agora, vamos expandir o quadrado dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos separar a integral em partes mais simples:
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais individualmente:
- $ \int_{0}^{2\pi} 1 , d\theta = 2\pi $
- $ \int_{0}^{2\pi} \cos \theta , d\theta = 0 $ (porque o cosseno é uma função periódica que se anula no ciclo completo)
- $ \int_{0}^{2\pi} \cos^2 \theta , d\theta $
Para a terceira integral, usamos uma identidade trigonométrica para facilitar:
Então:
Passo 5
Agora, substituímos os resultados das integrais de volta na expressão da área:
Resposta
A área da região interna da curva $ r = 1 + \cos \theta $ é $ \frac{3\pi}{2} $ unidades de área.