(2,0 puntos) Esboce a curva r=cos (2 theta).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a curva r = cos(2theta) . Isso está na área de Trigonometria Polar, onde usamos coordenadas circulares para representar curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a equação polar e como identificar os pontos chave para desenhar a curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação r = cos(2theta) . Aqui, r é a distância do ponto até a origem, e theta é o ângulo em relação ao eixo positivo de x . A função cosseno com o ângulo multiplicado por 2 indica que a curva terá simetria específica e certo número de “pétalas”.

Passo 3

Para descobrir quantas pétalas a curva terá, usamos a regra para equações da forma r = cos(ktheta) :
  • Se k for par, o número de pétalas é 2k.
  • Se k for ímpar, o número de pétalas é igual a k .
No nosso caso, k = 2 (par), então a curva terá 4 pétalas.

Passo 4

Vamos encontrar alguns pontos chave para desenhar as pétalas:
  • Quando theta = 0 : r = cos(0) = 1 → Ponto (1, 0)
  • Quando theta = pi4 : r = cos(pi2) = 0 → Ponto na origem
  • Repetindo para outros ângulos como pi2, 3pi4, pi , etc., identificamos onde a curva cruza a origem e atinge seus pontos máximos.

Resposta

A curva r = cos(2theta) é uma rosa de 4 pétalas, simétrica em relação aos eixos x e y . Ao plotar os pontos chave e conectar as pétalas suavemente, obtemos o esboço da curva desejada.

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