Sejam ann=1^+infty e bnn=1^+infty duas sequências tais que lim n +infty an=L e |an-bn| <= 5 e^-n para todo n in N. Mostre que lim n +infty bn=L.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas sequências an e bn tais que
  1. limnto+inftyan = L.
  2. Para todo ninN, l|an - bnr|<=5e^-n.
    O conteúdo principal é limite de sequência e vamos usar a definição de convergência junto com a desigualdade triangular para mostrar que bn também converge a L.

Passo 2

Aplicamos a desigualdade triangular para relacionar bn e L:
l|bn - Lr| ;=;l|bn - an + an - Lr| ;<=;l|bn - anr| + l|an - Lr| ;<=;5e^-n + l|an - Lr|

Passo 3

Seja varepsilon>0. Como limntoinftyan=L, existe N1 tal que para todo n>= N1,
l|an - Lr| < varepsilon2
Além disso, visto que e^-nto0, podemos escolher N2 suficientemente grande para garantir que para todo n>= N2,
5e^-n < varepsilon2

Passo 4

Defina N = maxN1,N2. Então, para todo n>= N, temos simultaneamente
l|an - Lr| < varepsilon2 e 5e^-n < varepsilon2
Substituindo na desigualdade do Passo 2, obtemos
l|bn - Lr| <= 5e^-n + l|an - Lr| < varepsilon2 + varepsilon2 = varepsilon

Passo 5

Como para todo varepsilon>0 existe N tal que n>= N implica l|bn - Lr|<varepsilon, concluímos que
limnto+inftybn = L

Resposta

limnto+inftybn = L.

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