(2,0 pontos) Considere a função f(x)=x^{2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{3}}+2025. Calcule f^{\prime \prime}(1) e f^{\prime \prime \prime}(1).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{3}}+2025
e pede f''(1) e f'''(1). O conteúdo é diferenciação de potências, usando a regra: se g(x)=x^{n}, então g'(x)=n\,x^{n-1}.

Passo 2

Calculamos primeiro f'(x) derivando termo a termo:
\bigl(x^{2}\bigr)'=2x,
\bigl(x^{-1}\bigr)'=-1\,x^{-2}=-x^{-2},
\bigl(x^{-3}\bigr)'=-3\,x^{-4},
– a derivada de constante é zero.
Logo
f'(x)=2x - x^{-2} - 3x^{-4}.

Passo 3

Agora derivamos f'(x) para obter f''(x):
(2x)'=2,
(-x^{-2})' = -(-2)x^{-3}=2x^{-3},
(-3x^{-4})' = -3\cdot(-4)x^{-5}=12x^{-5}.
Portanto
f''(x)=2 + 2x^{-3} + 12x^{-5}.

Passo 4

Avaliamo f'' em x=1:
f''(1)=2 + 2\cdot1^{-3} +12\cdot1^{-5}=2+2+12=16.

Passo 5

Derivamos f''(x) para achar f'''(x):
(2)'=0,
\bigl(2x^{-3}\bigr)'=2\cdot(-3)x^{-4}=-6x^{-4},
\bigl(12x^{-5}\bigr)'=12\cdot(-5)x^{-6}=-60x^{-6}.
Assim
f'''(x)=-6x^{-4}-60x^{-6}.

Passo 6

Avaliamo f''' em x=1:
f'''(1)=-6\cdot1^{-4}-60\cdot1^{-6}=-6-60=-66.

Resposta

f''(1)=16 f'''(1)=-66

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