(2,5 pontos) Calcule detalhadamente
, onde
é uma curva fechada, parametrizada de modo a ser percorrida uma única vez no sentido horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é fechada e percorrida uma única vez no sentido horário.
O conteúdo principal é o uso do Teorema dos Resíduos para um polo de ordem 4 e o cuidado com a orientação negativa (horário) da curva.
O conteúdo principal é o uso do Teorema dos Resíduos para um polo de ordem 4 e o cuidado com a orientação negativa (horário) da curva.
Passo 2
Observamos que o integrando tem um único polo em
de ordem 4, pois o fator
está no denominador. Podemos escrever
com
, que é holomorfa em torno de
.
Passo 3
Para um polo de ordem
em
, o resíduo é dado por
Como
é percorrida no sentido horário, a integral vale
i.e.\
.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Passo 5
Avaliaremos em
:
Logo o resíduo é
Passo 6
Substituindo na fórmula da integral com orientação negativa: