(2,5 pontos) Calcule detalhadamente \oint_{C} \frac{\sin ^{2} z}{\left(z-\frac{\pi}{4}\right)^{4}} d z, onde C é uma curva fechada, parametrizada de modo a ser percorrida uma única vez no sentido horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\oint_{C}\frac{\sin^{2}z}{\bigl(z-\tfrac{\pi}{4}\bigr)^{4}}\,dz
onde C é fechada e percorrida uma única vez no sentido horário.
O conteúdo principal é o uso do Teorema dos Resíduos para um polo de ordem 4 e o cuidado com a orientação negativa (horário) da curva.

Passo 2

Observamos que o integrando tem um único polo em
z_{0}=\frac{\pi}{4}
de ordem 4, pois o fator \bigl(z-\tfrac{\pi}{4}\bigr)^{4} está no denominador. Podemos escrever
\frac{\sin^{2}z}{\bigl(z-\tfrac{\pi}{4}\bigr)^{4}} =\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{4}},
com f(z)=\sin^{2}z, que é holomorfa em torno de z_{0}.

Passo 3

Para um polo de ordem m=4 em z_{0}, o resíduo é dado por
\Res\Bigl(\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{4}},z_{0}\Bigr) =\frac{1}{(4-1)!}\lim_{z\to z_{0}} \frac{d^{3}}{dz^{3}}\bigl[(z-z_{0})^{4}\,\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{4}}\bigr] =\frac{1}{3!}f^{(3)}(z_{0}).
Como C é percorrida no sentido horário, a integral vale
\oint_{C}=\,-2\pi i\;\sum\Res,
i.e.\ \oint_{C}=\,-2\pi i\;\Res\bigl(\frac{\sin^{2}z}{(z-\tfrac{\pi}{4})^{4}},z_{0}\bigr).

Passo 4

Calculamos as derivadas de f(z)=\sin^{2}z:
f'(z)=2\sin z\cos z=\sin(2z),\quad f''(z)=\cos(2z)\cdot2=2\cos(2z),\quad f'''(z)=-2\sin(2z)\cdot2=-4\sin(2z).

Passo 5

Avaliaremos em z_{0}=\tfrac{\pi}{4}:
\sin\bigl(2\cdot\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1 \quad\Longrightarrow\quad f'''(z_{0})=-4\cdot1=-4.
Logo o resíduo é
\Res=\frac{1}{3!}f'''(z_{0}) =\frac{1}{6}(-4)=-\frac{2}{3}.

Passo 6

Substituindo na fórmula da integral com orientação negativa:
\oint_{C}\frac{\sin^{2}z}{\bigl(z-\tfrac{\pi}{4}\bigr)^{4}}\,dz =-2\pi i\;\Bigl(-\frac{2}{3}\Bigr) =\frac{4\pi i}{3}.

Resposta

\frac{4\pi i}{3}

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