(2,0 pontos) Encontre a série de Fourier para a função periódica, de período 2 \pi, definida no intervalo (-\pi, \pi) por f(x)=x, quando x \in(0, \pi) e f(x)=0 no caso contrário. Esboce o gráfico em \mathbb{R}. O que sabemos sobre a sua convergência? O que dizer nos pontos -\pi e \pi ?

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período 2\pi da função
f(x)=\begin{cases} 0, & -\pi < x < 0,\\\ x, & 0 < x < \pi, \end{cases}
estendida periodicamente. Vamos usar as fórmulas
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 2

Calculemos a_0:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\,dx =\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi^2}{2} =\frac{\pi}{2}.

Passo 3

Agora a_n para n\ge1:
a_n =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\cos(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\,\frac{(-1)^n-1}{n^2}.
Logo, para n par tem (-1)^n=1 e a_n=0, e para n ímpar tem (-1)^n=-1 e
a_n=-\frac{2}{\pi\,n^2}\quad(n\text{ ímpar}).í

Passo 4

Calculemos b_n:
b_n =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx =-\frac{(-1)^n}{n} =\frac{(-1)^{n+1}}{n}.

Passo 5

Escrevendo a série completa:
f(x)\sim \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr) =\frac{\pi}{4} +\sum_{\substack{n=1\n\text{ ímpar}}}^{\infty}\!\!\Bigl(-\frac{2}{\pi n^2}\Bigr)\cos(nx) +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx).

Passo 6

O gráfico periódico de f é
  • em [-\,\pi,0]: f(x)=0,
  • em [0,\pi]: f(x)=x,
    e depois se repete a cada 2\pi. Pela teoria de Dirichlet, a série converge para f(x) em todos os pontos de continuidade e para a média \bigl(f(x^-)+f(x^+)\bigr)/2 nos pontos de descontinuidade.

Passo 7

Nos pontos x=\pm\pi há descontinuidade (sai de f(\pi^-)=\pi para f(\pi^+)=0 e o mesmo em -\pi), logo a série converge para
\frac{\pi+0}{2}=\frac{\pi}{2}.

Resposta

A série de Fourier é
f(x)\sim \frac{\pi}{4} +\sum_{\substack{n=1\n\text{ ímpar}}}^{\infty}\!\!\Bigl(-\frac{2}{\pi n^2}\Bigr)\cos(nx) +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx).
O gráfico periódico tem trecho nulo em [-\,\pi,0] e rampa f(x)=x em [0,\pi]. A série converge para f(x) nos pontos de continuidade e para \bigl(f(x^-)+f(x^+)\bigr)/2 nas descontinuidades; em particular, em x=\pm\pi converge para \pi/2.

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