(2,0 pontos) Encontre a série de Fourier para a função periódica, de período
, definida no intervalo
por
, quando
e
no caso contrário. Esboce o gráfico em
. O que sabemos sobre a sua convergência? O que dizer nos pontos
e
?
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier de período
da função
estendida periodicamente. Vamos usar as fórmulas
Passo 2
Calculemos
:
Passo 3
Agora
para
:
Logo, para
par tem
e
, e para
ímpar tem
e
Passo 4
Calculemos
:
Passo 5
Escrevendo a série completa:
Passo 6
O gráfico periódico de
é
- em
: , - em
: ,
e depois se repete a cada. Pela teoria de Dirichlet, a série converge para em todos os pontos de continuidade e para a média nos pontos de descontinuidade.
Passo 7
Nos pontos
há descontinuidade (sai de
para
e o mesmo em
), logo a série converge para
Resposta
A série de Fourier é
O gráfico periódico tem trecho nulo em
e rampa
em
. A série converge para
nos pontos de continuidade e para
nas descontinuidades; em particular, em
converge para
.