(2.5 pontos) Use a Transformada de Laplace para resolver a seguinte EDO com coeficientes variáveis, sob condição de Dirichlet no intervalo [0, \pi]
\left\{\begin{array}{l} t \ddot{y}(t)+2 \dot{y}(t)+t y(t)=0 \\\ y(0)=1 \\\ y(\pi)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO com coeficientes variáveis
t\,\ddot y(t) + 2\,\dot y(t) + t\,y(t) = 0
com condições de contorno y(0)=1 e y(\pi)=0.
Vamos usar a Transformada de Laplace, sabendo que \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s), \mathcal{L}\{t\,f(t)\} = -\tfrac{d}{ds}F(s) e \mathcal{L}\{\dot y\}=sY(s)-y(0).

Passo 2

Aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo:
\mathcal{L}\{t\,\ddot y\} + 2\,\mathcal{L}\{\dot y\} + \mathcal{L}\{t\,y\} = 0.

Passo 3

Calculamos cada transformada:
\mathcal{L}\{t\,\ddot y\} = -\frac{d}{ds}\bigl[s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr],
\mathcal{L}\{\dot y\} = sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{t\,y\} = -\frac{d}{ds}Y(s).
Como y(0)=1 e definimos y'(0)=a (ainda desconhecido), substituímos.

Passo 4

Substituindo e simplificando obtemos uma equação diferencial em Y(s):
-\frac{d}{ds}\bigl[s^2Y(s)-s - a\bigr] +2\bigl(sY(s)-1\bigr) -\frac{d}{ds}Y(s)=0.
Fazendo a derivada e cancelando termos surge
\bigl(s^2+1\bigr)\,Y'(s) = -1,
ou seja
Y'(s) = -\frac{1}{s^2+1}.

Passo 5

Integramos em s:
Y(s) = -\int \frac{1}{s^2+1}\,ds + K = -\arctan(s) + K.
Para determinar K, usamos o fato de que Y(s)\to0 quando s\to+\infty. Como \arctan(s)\to\frac{\pi}{2}, segue
0 = -\frac{\pi}{2} + K \quad\Longrightarrow\quad K = \frac{\pi}{2}.
Logo
Y(s) = \frac{\pi}{2} - \arctan(s) = \arctan\!\bigl(\tfrac1s\bigr).

Passo 6

Reconhecemos a transformada conhecida
\mathcal{L}\Bigl\{\frac{\sin t}{t}\Bigr\}(s) = \arctan\!\bigl(\tfrac1s\bigr).
Portanto
y(t) = \frac{\sin t}{t}.

Resposta

A solução da EDO é
y(t) = \frac{\sin t}{t},
que satisfaz y(0)=1 (no limite) e y(\pi)=0.

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