(2.5 pontos) Use a Transformada de Laplace para resolver a seguinte EDO com coeficientes variáveis, sob condição de Dirichlet no intervalo [0, \pi]
\left\{\begin{array}{l} t \ddot{y}(t)+2 \dot{y}(t)+t y(t)=0 \\\ y(0)=1 \\\ y(\pi)=0 \end{array}\right.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO com coeficientes variáveis
t\,\ddot y(t) + 2\,\dot y(t) + t\,y(t) = 0
com condições de contorno y(0)=1 e y(\pi)=0.
Vamos usar a Transformada de Laplace, sabendo que \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s), \mathcal{L}\{t\,f(t)\} = -\tfrac{d}{ds}F(s) e \mathcal{L}\{\dot y\}=sY(s)-y(0).
Passo 2
Aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo: