(3,0 pontos) Considere o seguinte problema da corda vibrante
\left\{\begin{array}{l} u_{t t}=c^{2} u_{x x}, 0<x<L t>0 \\\ u(0, t)=u_{x}(L, t)=0, t \geq 0 \\\ u(x, 0)=f(x), 0 \leq x \leq L \\\ u_{t}(x, 0)=g(x) 0 \leq x \leq L \end{array}\right.
onde f e g são funções conhecidas. Aplique a técnica de separação de variáveis a este problema. Use a teoria das séries de Fourier para formalizar a solução desse problema. Discuta sobre como as condições fronteira devem ser estendidas em \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado trata da equação da onda numa corda com ponto fixo em x=0\) e extremidade livre em \(x=L\). Mais precisamente, queremos resolver \[\begin{cases} u_{tt}=c^{2}u_{xx},&0<x<L,\;t>0,\\\ u(0,t)=0,\;u_x(L,t)=0,&t\ge0,\\\ u(x,0)=f(x),\;u_t(x,0)=g(x),&0\le x\le L, \end{cases}
onde f\] e \(g são dadas. Vamos usar separação de variáveis e séries de Fourier para obter a solução geral e, em seguida, discutir como estender f e g a \mathbb R para acomodar as condições de contorno mistas.

Passo 2

Procuramos soluções do tipo
u(x,t)=X(x)\,T(t).
Substituindo em u_{tt}=c^{2}u_{xx}\) obtemos \[X(x)\,T''(t)=c^{2}X''(x)\,T(t) \quad\Longrightarrow\quad \frac{T''(t)}{c^2T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,
com \lambda constante de separação. Assim surgem os dois ODEs
\begin{cases} X''+\lambda X=0,\\\ T''+c^2\lambda T=0. \end{cases}
As condições de contorno u(0,t)=0\] e \(u_x(L,t)=0 impõem
X(0)=0,\qquad X'(L)=0.

Passo 3

O problema de autovalores em X é
X''+\lambda X=0,\;X(0)=0,\;X'(L)=0.
Para termos não-trivial:
\lambda_n=\Bigl(\frac{(2n-1)\pi}{2L}\Bigr)^2,\quad n=1,2,3,\dots
e os autofunções correspondentes são
X_n(x)=\sin\!\Bigl(\frac{(2n-1)\pi}{2L}x\Bigr).
Essas funções são ortogonais em [0,L] com peso 1, e podem ser normalizadas se desejarmos. Para cada n a parte temporal satisfaz
T_n''+c^2\lambda_nT_n=0 \;\Longrightarrow\; T_n(t)=A_n\cos(\omega_n t)+B_n\sin(\omega_n t),
onde
\omega_n=c\frac{(2n-1)\pi}{2L}.

Passo 4

A solução geral é a série
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty} \Bigl(A_n\cos(\omega_n t)+B_n\sin(\omega_n t)\Bigr) \sin\!\Bigl(\frac{(2n-1)\pi}{2L}x\Bigr).
Para ajustar as condições iniciais u(x,0)=f(x), u_t(x,0)=g(x) fazemos t=0:
u(x,0)=\sum_{n}A_n\sin\!\bigl(\kappa_n x\bigr)=f(x), \quad u_t(x,0)=\sum_{n}B_n\omega_n\sin\!\bigl(\kappa_n x\bigr)=g(x),
onde \kappa_n=\tfrac{(2n-1)\pi}{2L}. Pelas fórmulas de expansão em série de senos obtemos
A_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin(\kappa_n x)\,dx, \quad B_n=\frac{2}{\omega_n L}\int_{0}^{L}g(x)\sin(\kappa_n x)\,dx.

Passo 5

Para garantir que a expansão em senos satisfaça u(0,t)=0 e u_x(L,t)=0 é conveniente estender f e g a \mathbb R da seguinte forma:
  • Como u(0,t)=0, fazemos a extensão ímpar em torno de x=0: F(-x)=-F(x).
  • Como u_x(L,t)=0, fazemos a extensão par em torno de x=L: F(2L-x)=F(x).
    Aplicando essas duas reflexões sucessivamente obtemos uma função periódica de período 4L que leva automaticamente às condições de contorno mistas originais quando restrita a [0,L]. O mesmo processo vale para g.

Resposta

u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty} \Biggl[ \Bigl(\tfrac{2}{L}\!\int_{0}^{L}f(s)\sin(\kappa_n s)\,ds\Bigr)\cos(\omega_n t) +\Bigl(\tfrac{2}{\omega_n L}\!\int_{0}^{L}g(s)\sin(\kappa_n s)\,ds\Bigr)\sin(\omega_n t) \Biggr] \sin(\kappa_n x),
onde \kappa_n=\tfrac{(2n-1)\pi}{2L} e \omega_n=c\,\kappa_n,
e f e g são estendidas a \mathbb R como descrito acima para cumprir u(0,t)=0 e u_x(L,t)=0.

Exercícios relacionados