(3,0 pontos) Considere o seguinte problema da corda vibrante
\left\{\begin{array}{l} u_{t t}=c^{2} u_{x x}, 0<x<L t>0 \\\ u(0, t)=u_{x}(L, t)=0, t \geq 0 \\\ u(x, 0)=f(x), 0 \leq x \leq L \\\ u_{t}(x, 0)=g(x) 0 \leq x \leq L \end{array}\right.
onde f e g são funções conhecidas. Aplique a técnica de separação de variáveis a este problema. Use a teoria das séries de Fourier para formalizar a solução desse problema. Discuta sobre como as condições fronteira devem ser estendidas em \mathbb{R}.
Passo 1
O enunciado trata da equação da onda numa corda com ponto fixo em x=0\) e extremidade livre em \(x=L\). Mais precisamente, queremos resolver
\[\begin{cases} u_{tt}=c^{2}u_{xx},&0<x<L,\;t>0,\\\ u(0,t)=0,\;u_x(L,t)=0,&t\ge0,\\\ u(x,0)=f(x),\;u_t(x,0)=g(x),&0\le x\le L, \end{cases}
onde f\] e \(g são dadas. Vamos usar separação de variáveis e séries de Fourier para obter a solução geral e, em seguida, discutir como estender f e g a \mathbb R para acomodar as condições de contorno mistas.
Passo 2
Procuramos soluções do tipo
u(x,t)=X(x)\,T(t).
Substituindo em u_{tt}=c^{2}u_{xx}\) obtemos
\[X(x)\,T''(t)=c^{2}X''(x)\,T(t) \quad\Longrightarrow\quad \frac{T''(t)}{c^2T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,
com \lambda constante de separação. Assim surgem os dois ODEs
Para garantir que a expansão em senos satisfaça u(0,t)=0 e u_x(L,t)=0 é conveniente estender f e g a \mathbb R da seguinte forma:
Como u(0,t)=0, fazemos a extensão ímpar em torno de x=0: F(-x)=-F(x).
Como u_x(L,t)=0, fazemos a extensão par em torno de x=L: F(2L-x)=F(x).
Aplicando essas duas reflexões sucessivamente obtemos uma função periódica de período 4L que leva automaticamente às condições de contorno mistas originais quando restrita a [0,L]. O mesmo processo vale para g.