Usando as regras de derivação apropriadas, calcule cada uma das derivadas solicitadas.
(a) A primeira derivada de f(x)=\frac{t g(x) a^{x}-x^{3}}{\cos (x)};

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{t\,g(x)\,a^{x}-x^{3}}{\cos(x)},
onde t e a são constantes e g(x) é uma função diferenciável. Vamos aplicar as regras de derivação: soma, produto, exponencial, logaritmo e quociente.

Passo 2

Definimos
u(x)=t\,g(x)\,a^{x}-x^{3}, \quad v(x)=\cos(x).
Para usar a regra do quociente precisamos de u'(x) e v'(x).

Passo 3

Calculamos u'(x). Note que u(x) é diferença de duas parcelas:
  1. Para t\,g(x)\,a^{x} usamos produto de g(x) e a^{x} (e t é constante): \frac{d}{dx}\bigl(t\,g(x)\,a^{x}\bigr) =t\Bigl(g'(x)\,a^{x}+g(x)\,\frac{d}{dx}(a^{x})\Bigr) =t\bigl(g'(x)\,a^{x}+g(x)\,a^{x}\ln(a)\bigr).
  2. Para -x^{3} temos \frac{d}{dx}(-x^{3})=-3x^{2}.
Logo,
u'(x) =t\bigl(g'(x)\,a^{x}+g(x)\,a^{x}\ln(a)\bigr)-3x^{2}.

Passo 4

Derivada de v(x)=\cos(x) é
v'(x)=-\sin(x).

Passo 5

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}} =\frac{\bigl[t\bigl(g'(x)\,a^{x}+g(x)\,a^{x}\ln(a)\bigr)-3x^{2}\bigr]\cos(x) -\bigl(t\,g(x)\,a^{x}-x^{3}\bigr)\bigl(-\sin(x)\bigr)}{\cos^{2}(x)}.

Passo 6

Podemos apenas reorganizar o numerador:
f'(x) =\frac{t\bigl(g'(x)\,a^{x}+g(x)\,a^{x}\ln(a)\bigr)\cos(x) -3x^{2}\cos(x) +\bigl(t\,g(x)\,a^{x}-x^{3}\bigr)\sin(x)}{\cos^{2}(x)}.

Resposta

f'(x) =\frac{t\bigl(g'(x)\,a^{x}+g(x)\,a^{x}\ln(a)\bigr)\cos(x) -3x^{2}\cos(x) +\bigl(t\,g(x)\,a^{x}-x^{3}\bigr)\sin(x)}{\cos^{2}(x)}.

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