(3 pontos) Calcule \iint_{R} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) d A onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelas circunferências x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=9. Esboce a região R.

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral dupla
\iint_{R} \ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA
onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelas circunferências x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=9. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função a integrar é \ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right).
  • A região R é a parte do primeiro quadrante entre a circunferência de raio 1 e a de raio 3 (pois 9=3^{2}).
  • O enunciado pede calcular o valor numérico da integral e também diz “Esboce a região R”.

Passo 2

Vamos transformar a integral para coordenadas polares porque a integranda depende de x^{2}+y^{2} (que vira uma função simples de r) e as fronteiras são círculos centrados na origem — isso torna os limites simples em polares.
Lembrete rápido sobre coordenadas polares:
  • As coordenadas polares são \,x=r\cos\theta\,,\;y=r\sin\theta\,.
  • A quantidade x^{2}+y^{2} torna-se r^{2}.
  • O elemento de área dA transforma-se em r\,dr\,d\theta. Explicação intuitiva: um pequeno retângulo polar tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então a área é r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Converter a integranda para polares:
\ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right)=\ln\!\left(r^{2}\right)=2\ln r.
Aqui usei que x^{2}+y^{2}=r^{2} e a propriedade \ln(r^{2})=2\ln r. Observação: como estamos no primeiro quadrante, r>0 e \ln r está bem definido para r\ge1.

Passo 4

Determinar os limites em polares para a região R:
  • Como R é o primeiro quadrante, \theta varia de 0 até \frac{\pi}{2}.
  • Entre as circunferências r=1 e r=3, então r varia de 1 a 3.
Portanto os limites são 0\le\theta\le\frac{\pi}{2} e 1\le r\le3.

Passo 5

Escrever a integral dupla em coordenadas polares com os limites:
\iint_{R}\ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA =\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=1}^{3} \bigl(2\ln r\bigr)\, r\,dr\,d\theta.
Posso juntar os fatores 2 e r para ficar mais claro:
\int_{0}^{\pi/2}\int_{1}^{3} 2r\ln r \,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral em r. Primeiro faço a integral interna
I=\int_{1}^{3} 2r\ln r \,dr = 2\int_{1}^{3} r\ln r \,dr.
Para \int r\ln r\,dr uso integração por partes. Regra de integração por partes: se u e v são funções, \int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolho:
  • u=\ln r \Rightarrow du=\dfrac{1}{r}\,dr,
  • dv = r\,dr \Rightarrow v=\dfrac{r^{2}}{2}.
Aplicando:
\int r\ln r\,dr = \frac{r^{2}}{2}\ln r - \int \frac{r^{2}}{2}\cdot\frac{1}{r}\,dr = \frac{r^{2}}{2}\ln r - \int \frac{r}{2}\,dr.
Calculo a integral remanescente:
\int \frac{r}{2}\,dr = \frac{1}{2}\cdot\frac{r^{2}}{2}=\frac{r^{2}}{4}.
Logo,
\int r\ln r\,dr = \frac{r^{2}}{2}\ln r - \frac{r^{2}}{4} + C.

Passo 7

Avaliar a primitiva entre r=1 e r=3 e multiplicar por 2:
I = 2\left[\left(\frac{r^{2}}{2}\ln r - \frac{r^{2}}{4}\right)\Bigg|_{1}^{3}\right].
Calcule os valores:
  • Para r=3: \dfrac{3^{2}}{2}\ln 3 - \dfrac{3^{2}}{4} = \dfrac{9}{2}\ln 3 - \dfrac{9}{4}.
  • Para r=1: \dfrac{1^{2}}{2}\ln 1 - \dfrac{1^{2}}{4} = 0 - \dfrac{1}{4} = -\dfrac{1}{4}, porque \ln 1=0.
Diferença:
\left(\frac{9}{2}\ln 3 - \frac{9}{4}\right)-\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{9}{2}\ln 3 - \frac{9}{4} + \frac{1}{4} = \frac{9}{2}\ln 3 - 2.
Multiplicando por 2 (lembrar que I tinha o fator 2):
I = 2\left(\frac{9}{2}\ln 3 - 2\right) = 9\ln 3 - 4.
Portanto a integral radial avaliada é I = 9\ln 3 - 4.

Passo 8

Agora integrar em \theta. A integral original é
\int_{0}^{\pi/2} I \, d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \bigl(9\ln 3 - 4\bigr)\,d\theta.
Como 9\ln 3 - 4 é constante em relação a \theta, a integral em \theta é simplesmente essa constante vezes o comprimento do intervalo [0,\tfrac{\pi}{2}], que é \tfrac{\pi}{2}:
\text{valor final} = \left(9\ln 3 - 4\right)\cdot\frac{\pi}{2}.
Multiplicando:
\text{valor final} = \frac{9\pi}{2}\ln 3 - 2\pi.

Passo 9

Esboço da região R (instrução rápida para desenhar): desenhar um sistema de eixos, traçar duas circunferências centradas na origem com raios 1 e 3. Sombreie somente a parte entre as duas circunferências que está no primeiro quadrante (ângulos entre 0 e \tfrac{\pi}{2}). O resultado é um “anel” (setor anular) ocupando o primeiro quadrante.

Resposta

\dfrac{9\pi}{2}\ln 3 - 2\pi

Exercícios relacionados