(3 pontos) Calcule \iint_{R} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) d A onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelas circunferências x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=9. Esboce a região R.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral dupla
\iint_{R} \ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA
onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelas circunferências x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=9. Informações relevantes extraídas do enunciado:
A função a integrar é \ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right).
A região R é a parte do primeiro quadrante entre a circunferência de raio 1 e a de raio 3 (pois 9=3^{2}).
O enunciado pede calcular o valor numérico da integral e também diz “Esboce a região R”.
Passo 2
Vamos transformar a integral para coordenadas polares porque a integranda depende de x^{2}+y^{2} (que vira uma função simples de r) e as fronteiras são círculos centrados na origem — isso torna os limites simples em polares.
Lembrete rápido sobre coordenadas polares:
As coordenadas polares são \,x=r\cos\theta\,,\;y=r\sin\theta\,.
A quantidade x^{2}+y^{2} torna-se r^{2}.
O elemento de área dA transforma-se em r\,dr\,d\theta. Explicação intuitiva: um pequeno retângulo polar tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então a área é r\,dr\,d\theta.
Passo 3
Converter a integranda para polares:
\ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right)=\ln\!\left(r^{2}\right)=2\ln r.
Aqui usei que x^{2}+y^{2}=r^{2} e a propriedade \ln(r^{2})=2\ln r. Observação: como estamos no primeiro quadrante, r>0 e \ln r está bem definido para r\ge1.
Passo 4
Determinar os limites em polares para a região R:
Como R é o primeiro quadrante, \theta varia de 0 até \frac{\pi}{2}.
Entre as circunferências r=1 e r=3, então r varia de 1 a 3.
Portanto os limites são 0\le\theta\le\frac{\pi}{2} e 1\le r\le3.
Passo 5
Escrever a integral dupla em coordenadas polares com os limites:
Portanto a integral radial avaliada é I = 9\ln 3 - 4.
Passo 8
Agora integrar em \theta. A integral original é
\int_{0}^{\pi/2} I \, d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \bigl(9\ln 3 - 4\bigr)\,d\theta.
Como 9\ln 3 - 4 é constante em relação a \theta, a integral em \theta é simplesmente essa constante vezes o comprimento do intervalo [0,\tfrac{\pi}{2}], que é \tfrac{\pi}{2}:
Esboço da região R (instrução rápida para desenhar): desenhar um sistema de eixos, traçar duas circunferências centradas na origem com raios 1 e 3. Sombreie somente a parte entre as duas circunferências que está no primeiro quadrante (ângulos entre 0 e \tfrac{\pi}{2}). O resultado é um “anel” (setor anular) ocupando o primeiro quadrante.