(3,0 pontos) Calcule
. onde
e
é a fronteira da regiāo sólida
delimitada pelo paraboloide
e pelo plano
, orientada para fora.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
onde
e
é a fronteira do sólido
limitado pelo paraboloide
e pelo plano
, orientada para fora.
Para resolver usamos o Teorema da Divergência, que transforma o fluxo de sobre
num integral de volume de
sobre
.
Para resolver usamos o Teorema da Divergência, que transforma o fluxo de
Passo 2
Calculamos a divergência de
:
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência:
Passo 4
Para achar
, usamos coordenadas cilíndricas
com
,
,
. Assim
Primeiro integramos em
:
Depois em
:
Passo 5
Substituindo em
: