(3,0 pontos) Calcule \iint_{S} F d S. onde F(x, y, z)=(x, y, 1) e S é a fronteira da regiāo sólida E delimitada pelo paraboloide z=1-x^{2}-y^{2} e pelo plano z=0, orientada para fora.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}F\cdot n\,dS
onde F(x,y,z)=(x,y,1) e S é a fronteira do sólido E limitado pelo paraboloide z=1-x^2-y^2 e pelo plano z=0, orientada para fora.
Para resolver usamos o Teorema da Divergência, que transforma o fluxo de F sobre S num integral de volume de \nabla\cdot F sobre E.

Passo 2

Calculamos a divergência de F:
\nabla\cdot F =\frac{\partial}{\partial x}(x) +\frac{\partial}{\partial y}(y) +\frac{\partial}{\partial z}(1) =1+1+0=2.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência:
\iint_{S}F\cdot n\,dS =\iiint_{E}(\nabla\cdot F)\,dV =\iiint_{E}2\,dV =2\;\mathrm{Vol}(E).

Passo 4

Para achar \mathrm{Vol}(E), usamos coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) com 0\le r\le1, 0\le\theta\le2\pi, 0\le z\le1-r^2. Assim
\mathrm{Vol}(E) =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{\,1-r^2}r\,dz\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}r(1-r^2)\,dr\,d\theta.
Primeiro integramos em r:
\int_{0}^{1}r(1-r^2)\,dr =\int_{0}^{1}(r - r^3)\,dr =\Bigl[\tfrac{r^2}{2}-\tfrac{r^4}{4}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac12-\tfrac14 =\tfrac14.
Depois em \theta:
\mathrm{Vol}(E) =\int_{0}^{2\pi}\tfrac14\,d\theta =\tfrac14\cdot2\pi =\tfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Substituindo em 2\,\mathrm{Vol}(E):
\iint_{S}F\cdot n\,dS =2\cdot\tfrac{\pi}{2} =\pi.

Resposta

\pi

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