Resolva a equação de Hermite pelo método de Frobenius, entorno de x=0
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 x \frac{d y}{d x}+\lambda y=0

Passo 1

Temos a equação de Hermite
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} \;-\;2x\,\frac{dy}{dx}\;+\;\lambda\,y\;=\;0
e queremos a solução em série em torno de x=0. Como o coeficiente de y'' é 1, que é analítico em x=0, trata-se de um ponto ordinário. Logo, podemos usar a série de potências clássica
y(x)=\sum_{m=0}^{\infty}a_{m}\,x^{m}.

Passo 2

Calculemos as derivadas e substituamos na equação:
y'(x)=\sum_{m=1}^{\infty}m\,a_{m}\,x^{m-1}, \quad y''(x)=\sum_{m=2}^{\infty}m(m-1)\,a_{m}\,x^{m-2}.
Então
\sum_{m=2}^{\infty}m(m-1)a_{m}\,x^{m-2} \;-\;2x\sum_{m=1}^{\infty}m\,a_{m}\,x^{m-1} \;+\;\lambda\sum_{m=0}^{\infty}a_{m}\,x^{m}=0.

Passo 3

Reindexando cada soma para igualar as potências de x^{m}:
– na primeira escrevemos m\mapsto m+2,
– na segunda o produto x\cdot x^{m-1}=x^m,
– na terceira já está em x^m.
Obtemos
\sum_{m=0}^{\infty}(m+2)(m+1)a_{m+2}\,x^{m} \;-\;2\sum_{m=0}^{\infty}m\,a_{m}\,x^{m} \;+\;\lambda\sum_{m=0}^{\infty}a_{m}\,x^{m}=0.

Passo 4

Somando os coeficientes de x^m e impondo que sejam zero, dá-se a relação de recorrência
(m+2)(m+1)\,a_{m+2} \;-\;2m\,a_{m} \;+\;\lambda\,a_{m}=0 \quad\Longrightarrow\quad a_{m+2}=\frac{2m-\lambda}{(m+2)(m+1)}\,a_{m}.

Passo 5

Isso separa as duas séries de mesmo “paridade”:
– Série par ( m=2n): a_{2n+2}=\dfrac{4n-\lambda}{(2n+2)(2n+1)}\,a_{2n}.
– Série ímpar ( m=2n+1): a_{2n+3}=\dfrac{4n+2-\lambda}{(2n+3)(2n+2)}\,a_{2n+1}.
Logo as duas soluções independentes são
y_{1}(x)=a_{0}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\prod_{k=0}^{n-1}(2k-\lambda)}{(2n)!}\,x^{2n}, \quad y_{2}(x)=a_{1}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\prod_{k=0}^{n-1}(2k+1-\lambda)}{(2n+1)!}\,x^{2n+1}.

Passo 6

Para \lambda=2N com N\in\mathbb{N}, uma das séries pára (pois em algum passo o numerador fica zero) e gera o polinômio de Hermite H_{N}(x).

Resposta

a_{m+2}=\frac{2m-\lambda}{(m+2)(m+1)}\,a_{m},
y(x)=a_{0}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\prod_{k=0}^{n-1}(2k-\lambda)}{(2n)!}\,x^{2n} \;+\; a_{1}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\prod_{k=0}^{n-1}(2k+1-\lambda)}{(2n+1)!}\,x^{2n+1}.

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