Resolva a equação de Hermite pelo método de Frobenius, entorno de
Passo 1
Temos a equação de Hermite
e queremos a solução em série em torno de
. Como o coeficiente de
é
, que é analítico em
, trata-se de um ponto ordinário. Logo, podemos usar a série de potências clássica
Passo 2
Calculemos as derivadas e substituamos na equação:
Então
Passo 3
Reindexando cada soma para igualar as potências de
:
– na primeira escrevemos ,
– na segunda o produto ,
– na terceira já está em .
Obtemos
– na primeira escrevemos
– na segunda o produto
– na terceira já está em
Obtemos
Passo 4
Somando os coeficientes de
e impondo que sejam zero, dá-se a relação de recorrência
Passo 5
Isso separa as duas séries de mesmo “paridade”:
– Série par ( ):
.
– Série ímpar ( ):
.
Logo as duas soluções independentes são
– Série par (
– Série ímpar (
Logo as duas soluções independentes são
Passo 6
Para
com
, uma das séries pára (pois em algum passo o numerador fica zero) e gera o polinômio de Hermite
.