(2 pontos) Calcule \int_{C} F \cdot d r, em que F(x, y)=-e^{y} sen x \mathbf{i}+e^{y} \cos x \mathbf{j} e C é o traço da curva r(t)=(t, \cos (t)),
0,5 quando t \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \int_{C}F\cdot dr
para o campo vetorial
\displaystyle F(x,y)=(-e^{y}\sin x)\,\mathbf{i}+(e^{y}\cos x)\,\mathbf{j}
e a curva parametrizada por
\displaystyle r(t)=(t,\cos t), t\in\bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr].
Este é um problema de integral de linha de um campo vetorial; vamos verificar se F é conservativo e, em caso positivo, usar uma função potencial.

Passo 2

Identificamos P(x,y)=-e^{y}\sin x e Q(x,y)=e^{y}\cos x. Calculamos
\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} = -e^{y}\sin x
e
\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x} = -e^{y}\sin x.
Como
\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}
em todo \mathbb{R}^2, o campo é conservativo. Logo existe uma função f tal que \nabla f = F. Integramos
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = -e^{y}\sin x
em x:
f(x,y) = \int -e^{y}\sin x\,dx = e^{y}\cos x + g(y).
Derivando em y e igualando a Q:
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = e^{y}\cos x + g'(y) = e^{y}\cos x
implica g'(y)=0. Assim podemos tomar
f(x,y) = e^{y}\cos x.

Passo 3

Pelo teorema fundamental para campos conservativos,
\int_{C}F\cdot dr = f\bigl(r(\tfrac{\pi}{2})\bigr) - f\bigl(r(0)\bigr).
Como
\;r(0)=(0,1) e r(\tfrac{\pi}{2})=(\tfrac{\pi}{2},0),
temos
f\bigl(r(\tfrac{\pi}{2})\bigr) = e^{0}\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = 0, \quad f\bigl(r(0)\bigr) = e^{1}\cos(0) = e.
Portanto
\int_{C}F\cdot dr = 0 - e = -e.

Resposta

-e

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