(2 pontos) Calcule
, em que
sen
e
é o traço da curva
,
0,5 quando
Passo 1
O enunciado pede para calcular
para o campo vetorial
e a curva parametrizada por
,
.
Este é um problema de integral de linha de um campo vetorial; vamos verificar se é conservativo e, em caso positivo, usar uma função potencial.
para o campo vetorial
e a curva parametrizada por
Este é um problema de integral de linha de um campo vetorial; vamos verificar se
Passo 2
Identificamos
e
. Calculamos
e
.
Como
em todo , o campo é conservativo. Logo existe uma função
tal que
. Integramos
em :
e
Como
em todo
em
Derivando em
e igualando a
:
implica . Assim podemos tomar
implica
Passo 3
Pelo teorema fundamental para campos conservativos,
Como
e
,
temos
temos
Portanto