(2 pontos) Calcule a integral de linha \oint_{C} 2 x \operatorname{sen}(y) d x+x^{2} \cos (y) d y, em que C é a elipse \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1;

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\oint_{C}2x\sin(y)\,dx + x^{2}\cos(y)\,dy
em que C é a elipse \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
O conteúdo envolvido é o de campos vetoriais conservativos: se o campo
\mathbf{F}(x,y) = \bigl(P(x,y),Q(x,y)\bigr) for conservativo em uma região simplesmente conectada, então
\displaystyle \oint_C P\,dx + Q\,dy = 0. Vamos verificar isso.

Passo 2

Identificamos
P(x,y) = 2x\sin(y), \qquad Q(x,y) = x^{2}\cos(y).
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y} =2x\cos(y), \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} =2x\cos(y).
Como \partial P/\partial y = \partial Q/\partial x em toda a região onde a elipse vive (que é simplesmente conectada), o campo é conservativo.

Passo 3

Como o campo é conservativo, existe uma função potencial f(x,y) tal que
\frac{\partial f}{\partial x}=P=2x\sin(y).
Integramos em relação a x:
f(x,y)=\int 2x\sin(y)\,dx = x^{2}\sin(y) + h(y),
onde h(y) é uma “constante” em relação a x. Para determiná-la, igualamos
\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2}\cos(y) + h'(y)
ao nosso Q(x,y)=x^{2}\cos(y). Dessa igualdade segue h'(y)=0, logo h(y) é constante.

Passo 4

Portanto a função potencial é
f(x,y)=x^{2}\sin(y)+\text{constante},
e a integral de linha sobre a curva fechada C vale
\oint_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = f\bigl(\text{ponto final}\bigr) - f\bigl(\text{ponto inicial}\bigr) =0.

Resposta

0

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