(2 pontos) Calcule a integral de linha
, em que
é a elipse
;
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
em que
é a elipse
.
O conteúdo envolvido é o de campos vetoriais conservativos: se o campo
for conservativo em uma região simplesmente conectada, então
. Vamos verificar isso.
O conteúdo envolvido é o de campos vetoriais conservativos: se o campo
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
em toda a região onde a elipse vive (que é simplesmente conectada), o campo é conservativo.
Passo 3
Como o campo é conservativo, existe uma função potencial
tal que
Integramos em relação a
:
onde
é uma “constante” em relação a
. Para determiná-la, igualamos
ao nosso
. Dessa igualdade segue
, logo
é constante.
Passo 4
Portanto a função potencial é
e a integral de linha sobre a curva fechada
vale