A produção de uma certa fábrica ć \mathrm{Q}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0,08 \mathrm{x}^{2}+0,12 \mathrm{xy}+0,03 \mathrm{y}^{2}, unidades por dia, onde x é o número de horas de mão-de-obra especializada e y é o número de horas de mão-deobra não-especializada. No entanto, são usados diariamente 80 horas de mão-de-obra especializada e 200 horas de mão-de-obra năo - especializada. Use os métodos do cálculo para estimar a variação da produção se forem usadas mais \frac{1}{2} hora de mão-de-obra especializada e 2 horas de mão-de-obra não - especializada por dia.

Passo 1

O enunciado dá a produção diária
Q(x,y)=0,08\,x^{2}+0,12\,x y+0,03\,y^{2},
onde x são horas de mão-de-obra especializada e y horas de mão-de-obra não-especializada. No ponto atual (x,y)=(80,200) deseja-se estimar a variação de Q quando se acrescentam \tfrac12 hora especializada e 2 horas não-especializadas. Usaremos a diferencial total para aproximar essa variação.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de Q:
Q_x(x,y)=\frac{\partial Q}{\partial x} =0,16\,x+0,12\,y,
Q_y(x,y)=\frac{\partial Q}{\partial y} =0,12\,x+0,06\,y.

Passo 3

Avaliamos Q_x e Q_y em (80,200):
Q_x(80,200)=0,16\cdot80+0,12\cdot200=12,8+24=36,8,
Q_y(80,200)=0,12\cdot80+0,06\cdot200=9,6+12=21,6.

Passo 4

A diferencial total é
\mathrm{d}Q = Q_x\,\mathrm{d}x + Q_y\,\mathrm{d}y.
Tomando \mathrm{d}x=\tfrac12 e \mathrm{d}y=2,
\mathrm{d}Q \approx 36,8\cdot0,5 + 21,6\cdot2 = 18,4 + 43,2 = 61,6.

Resposta

A produção aumenta aproximadamente 61{,}6 unidades por dia.

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