Um vendedor de bicicletas constatou que se as bicicletas de 10 marchas forem vendidas por x reais a unidade e o preço da gasolina por y centavos o litro, o número de bicicletas vendidas por mês serão dados pela função F(x, y)=200-24 \sqrt{x}+4(0,1 y+4)^{\frac{3}{2}}. No momento, as bicicletas estão sendo vendidas por R$324,00 e a gasolina custa R$ 1,20 o litro. Use os métodos de análise marginal para determinar a variação da venda de 10 bicicletas de 10 marchas se o preço da gasolina diminuir de I centavo por litro e o preço das bicicletas não for alterado.

Passo 1

O enunciado dá a função de vendas mensais de bicicletas de 10 marchas
F(x,y)=200 - 24\sqrt{x} + 4\bigl(0,1y + 4\bigr)^{\frac32}
onde x é o preço da bicicleta (em reais) e y é o preço da gasolina (em centavos). No ponto atual temos x=324 e y=120. Queremos a variação aproximada da venda quando y diminui 1 centavo ( \mathrm{d}y=-1) e x não muda ( \mathrm{d}x=0), usando análise marginal ( \mathrm{d}F=F_x\,\mathrm{d}x + F_y\,\mathrm{d}y).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
Para x:
F_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(200 - 24\sqrt{x}\bigr) = -24\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{12}{\sqrt{x}}.
Para y:
F_y = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl[4\,(0,1y+4)^{\frac32}\Bigr] =4\cdot\frac32\,(0,1y+4)^{\frac12}\cdot0,1 =0,6\,\sqrt{0,1y+4}.

Passo 3

Avaliamos em \bigl(x,y\bigr)=(324,120):
F_x(324,120) = -\frac{12}{\sqrt{324}} = -\frac{12}{18} = -\tfrac{2}{3},
F_y(324,120) = 0,6\sqrt{0,1\cdot120+4} =0,6\sqrt{16} =0,6\cdot4 =2,4.

Passo 4

Como \mathrm{d}x=0 e \mathrm{d}y=-1, a variação aproximada é
\mathrm{d}F = F_x\,\mathrm{d}x + F_y\,\mathrm{d}y =0 + 2,4\cdot(-1) =-2,4.

Resposta

A venda de bicicletas diminui em aproximadamente 2,4 unidades por mês.

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