(2,5 pontos) Calcule
integral duplaR raizy sen(x raizy) d A
onde R=(x, y) in R^2: x >= 0, x^2 <= y <= pi2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral duplaR raizy,sen(xraizy),dA na região R=(x,y):x>=0,,x^2<= y<=pi/2. O conteúdo envolvido é integração dupla em coordenadas cartesianas e troca da ordem de integração.

Passo 2

Vamos escrever a integral de forma iterada. Como para cada y fixo temos 0<= x<=raizy e y varia de 0 a pi/2,

Passo 3

I=integraly=0^pi/2integralx=0^raizyraizy,sen(xraizy),dx,dy

Passo 4

Para calcular a integral interna em x, façamos a substituição t=xraizy. Então dt=raizy,dx e quando x=0 temos t=0, quando x=raizy temos t=y. Logo,

Passo 5

integral0^raizyraizy,sen(xraizy),dx=integral0^ysen t,dt=[-cos t]0^y=1-cos y

Passo 6

Substituindo na integral de y, obtemos

Passo 7

I=integral0^pi/2(1-cos y),dy=l[y-sen yr]0^pi/2=pi2-1

Resposta

pi2-1

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