(2,5 pontos) Faça um esboço da região
delimitada pelas retas
e
. Usando uma mudança de variáveis conveniente, calcule
Passo 1
O enunciado pede o esboço e o cálculo da integral dupla
onde
é delimitada pelas retas
,
,
e
.
O conteúdo principal é a mudança de variáveis em integrais duplas, usando um jacobiano para converter .
O conteúdo principal é a mudança de variáveis em integrais duplas, usando um jacobiano para converter
Passo 2
Para esboçar
, encontramos as interseções das retas:
entre e
temos
entre
entre
e
temos
entre
e
temos
entre
e
temos
Ligando esses quatro pontos obtemos um paralelogramo em
.
Passo 3
Uma mudança confortável é
Nessas novas variáveis, as retas viram
logo o domínio em
é o retângulo
Passo 4
Escrevendo
o jacobiano é
logo
l|tfracpartial(x,y)partial(u,v)r| = tfrac12 .]
Passo 5
No integrando temos
x-y = v e
(x-y)(x+y)=vu . Assim
e
Integramos em
u :
então a integral vira
Passo 6
Calculemos
Multiplicando por
tfrac12 obtemos