(2,5 pontos) Faça um esboço da região R delimitada pelas retas x+y=0, x+y=1, x-y=1 e x-y=4. Usando uma mudança de variáveis conveniente, calcule
integral duplaR(x-y) e^(x-y)(x+y) d A

Passo 1

O enunciado pede o esboço e o cálculo da integral dupla
integral duplaR(x-y),e^(x-y)(x+y),dA
onde R é delimitada pelas retas x+y=0, x+y=1, x-y=1 e x-y=4.
O conteúdo principal é a mudança de variáveis em integrais duplas, usando um jacobiano para converter dA.

Passo 2

Para esboçar R, encontramos as interseções das retas:
entre x+y=0 e x-y=1 temos
x+y=0,;x-y=1Longrightarrow(x,y)=l(tfrac12,,-tfrac12r)
entre x+y=0 e x-y=4 temos
x+y=0,;x-y=4Longrightarrow(x,y)=(2,,-2)
entre x+y=1 e x-y=1 temos
x+y=1,;x-y=1Longrightarrow(x,y)=(1,0)
entre x+y=1 e x-y=4 temos
x+y=1,;x-y=4Longrightarrow(x,y)=l(tfrac52,,-tfrac32r)
Ligando esses quatro pontos obtemos um paralelogramo em xy.

Passo 3

Uma mudança confortável é
u = x+y, v = x-y
Nessas novas variáveis, as retas viram
u=0,;u=1,;v=1,;v=4,
logo o domínio em uv é o retângulo
0 <= u <= 1, 1 <= v <= 4

Passo 4

Escrevendo
x = tfracu+v2, y = tfracu-v2
o jacobiano é
partial(x,y)partial(u,v) = det tfrac12 & tfrac12[6pt] tfrac12 & -tfrac12 = -tfrac12,
logo l|tfracpartial(x,y)partial(u,v)r| = tfrac12.]

Passo 5

No integrando temos x-y = v e (x-y)(x+y)=vu. Assim
dA = tfrac12,du,dv,
e
integral duplaR(x-y)e^(x-y)(x+y),dA = 12 integralv=1^4integralu=0^1v,e^vu,du,dv
Integramos em u:
integral0^1e^vu,du = e^v-1v,
então a integral vira
12integral1^4(e^v-1),dv

Passo 6

Calculemos
integral1^4(e^v-1),dv =l[e^v-vr]1^4 =(e^4-4)-(e-1) = e^4-e-3
Multiplicando por tfrac12 obtemos
e^4-e-32

Resposta

integral duplaR(x-y)e^(x-y)(x+y),dA = e^4-e-32

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