Questão 4

Enunciado:

Uma hélice de avião possui uma pá em formato de setor circular, com vértice no eixo de rotação da hélice (origem), raio R=2 \mathrm{~m} e ângulo \theta_{\max }=\pi / 4 radianos. A densidade da pá varia radialmente conforme:
\rho(r)=1+0.1 r \quad\left[\mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{2}\right]
Pergunta adicional: Em qual eixo há mais resistência para girar a hélice?
  1. Calcule o momento de inércia da pá em torno do eixo perpendicular ao plano da hélice (eixo z passando pela origem). Utilize coordenadas polares.
  2. Calcule o momento de inércia da pá em torno de um eixo que passa pela origem e está contido no plano da hélice (eixo x , radial). Compare os valores.
  3. Calcule o raio de giração da pá e discuta como este valor poderia ser útil para balanceamento da hélice, dimensionamento do motor e manutenção preventiva.

Passo 1

O enunciado descreve uma pá em forma de setor circular de raio R=2 m e ângulo \theta_{\max}=\pi/4, com densidade superficial \rho(r)=1+0.1\,r kg/ m^{2}. Vamos usar coordenadas polares (r,\theta) para calcular:
  1. O momento de inércia em torno do eixo z (perpendicular ao plano).
  2. O momento de inércia em torno do eixo x (no plano, passando pela origem).
  3. O raio de giração k e discutir sua utilidade.

Passo 2

Para o eixo z, usamos
I_z = \iint_{\text{pá}} \rho(r)\,r^2\,dA,á
com dA = r\,dr\,d\theta, r\in[0,2], \theta\in[0,\pi/4]. Então
I_z = \int_{0}^{\pi/4}\!\!\int_{0}^{2} (1+0.1r)\,r^2\,(r\,dr\,d\theta) = \int_{0}^{\pi/4}\!\!\int_{0}^{2} (1+0.1r)\,r^3\,dr\,d\theta.
Calculemos a parte radial:
\int_{0}^{2}(r^3+0.1\,r^4)\,dr =\Bigl[\tfrac{r^4}{4}+\tfrac{0.1\,r^5}{5}\Bigr]_{0}^{2} =4 + 0.64=4.64.
Logo
I_z = \frac{\pi}{4}\times 4.64 =1.16\,\pi\approx3.64\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.

Passo 3

Para o eixo x no plano, medimos distância y = r\sin\theta. Assim
I_x = \iint_{\text{pá}} \rho(r)\,y^2\,dA = \int_{0}^{\pi/4}\!\!\int_{0}^{2}(1+0.1r)\,(r\sin\theta)^2\,r\,dr\,d\theta = \Bigl[\int_{0}^{2}(1+0.1r)\,r^3\,dr\Bigr]\Bigl[\int_{0}^{\pi/4}\sin^2\theta\,d\theta\Bigr].á
Já sabemos \int_{0}^{2}(1+0.1r)r^3\,dr=4.64. E
\int_{0}^{\pi/4}\sin^2\theta\,d\theta =\frac{\theta}{2}-\frac{\sin(2\theta)}{4}\Big|_{0}^{\pi/4} =\frac{\pi}{8}-\frac14.
Então
I_x =4.64\Bigl(\frac{\pi}{8}-\frac14\Bigr) =0.58\,\pi -1.16\approx0.66\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.
Comparando: I_z\approx3.64 > I_x\approx0.66, ou seja, há mais resistência ao girar em torno do eixo z.

Passo 4

Primeiro a massa M da pá:
M = \iint_{\text{pá}}\rho(r)\,dA = \int_{0}^{\pi/4}\!\!\int_{0}^{2}(1+0.1r)\,r\,dr\,d\theta =\frac{\pi}{4}\int_{0}^{2}(r+0.1r^2)\,dr =\frac{\pi}{4}\bigl[2.2667\bigr]\approx1.78\\ \mathrm{kg}.á
O raio de giração relativo ao eixo z é
k = \sqrt{\frac{I_z}{M}} \approx \sqrt{\frac{3.64}{1.78}} \approx1.43\\ \mathrm{m}.
Esse k indica uma “distância efetiva” onde toda a massa poderia estar concentrada para produzir o mesmo I_z. Em balanceamento e manutenção, conhecer k ajuda a prever como pequenas variações de massa em diferentes raios afetam a inércia, e no dimensionamento do motor garante torque suficiente para acelerar a pá.

Resposta

I_z\approx3.64\\ \mathrm{kg\cdot m^2} I_x\approx0.66\\ \mathrm{kg\cdot m^2}
Eixo com mais resistência: eixo z (perpendicular ao plano).
Raio de giração k\approx1.43\\ \mathrm{m}.

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