Resolva as equações de 2^{\circ} grau incompletas sem usar a Fórmula de Bhaskara.
2 x^{2}-128=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de 2^{\circ} grau incompleta
2x^{2}-128=0.
Informações dadas:
  • A equação é \,2x^{2}-128=0.
  • Pergunta: encontrar todas as raízes (todos os valores de x) que satisfazem essa equação.

Passo 2

Identificar a forma da equação e os coeficientes importantes. Uma equação quadrática “incompleta” é aquela em que falta o termo linear em x. A forma geral dessa situação é
ax^{2}+c=0,
onde a e c são constantes. Aqui podemos identificar
a=2,\qquad c=-128.
Uma estratégia simples para esse tipo é:
  • isolar x^{2} ou
  • fatorar a expressão (quando possível) usando o produto zero.
    Vou seguir os dois raciocínios juntos de forma didática (fatoração e a idéia do produto zero).

Passo 3

Fatorar o fator numérico comum para simplificar. Da equação dada, fatorando 2 obtemos:
2x^{2}-128 = 2\bigl(x^{2}-64\bigr).
Portanto a equação original é equivalente a
2\bigl(x^{2}-64\bigr)=0.

Passo 4

Aplicar a propriedade do produto nulo (zero): se um produto de fatores é zero, pelo menos um dos fatores é zero. Como 2 é diferente de zero, o único fator que pode ser zero é \,x^{2}-64. Assim chegamos à equação mais simples
x^{2}-64=0.

Passo 5

Resolver \,x^{2}-64=0. Aqui podemos usar a identidade de diferença de quadrados ou isolar x^{2} e tirar raiz quadrada. Primeiro a identidade:
x^{2}-64 = x^{2}-8^{2} = (x-8)(x+8).
Então
(x-8)(x+8)=0.
Alternativamente, isolando x^{2} temos \,x^{2}=64 e ao tomar raiz quadrada obtemos x=\pm 8. As duas abordagens dão a mesma coisa; agora usamos o produto nulo.

Passo 6

Resolver cada fator linear resultante:
x-8=0 \quad\Rightarrow\quad x=8,
x+8=0 \quad\Rightarrow\quad x=-8.
Portanto as soluções candidatas são x=8 e x=-8.

Passo 7

Verificar as soluções substituindo na equação original (checar sempre é uma boa prática):
2\cdot 8^{2}-128 = 2\cdot 64 -128 = 128-128 = 0,
2\cdot (-8)^{2}-128 = 2\cdot 64 -128 = 0.
Ambas satisfazem a equação, portanto são soluções válidas.

Resposta

x=8
x=-8

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