Resolva as equações de
grau incompletas sem usar a Fórmula de Bhaskara.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de
grau incompleta
Informações dadas:
- A equação é
- Pergunta: encontrar todas as raízes (todos os valores de
) que satisfazem essa equação.
Passo 2
Identificar a forma da equação e os coeficientes importantes. Uma equação quadrática “incompleta” é aquela em que falta o termo linear em
. A forma geral dessa situação é
onde
e
são constantes. Aqui podemos identificar
Uma estratégia simples para esse tipo é:
- isolar
ou - fatorar a expressão (quando possível) usando o produto zero.
Vou seguir os dois raciocínios juntos de forma didática (fatoração e a idéia do produto zero).
Passo 3
Fatorar o fator numérico comum para simplificar. Da equação dada, fatorando
obtemos:
Portanto a equação original é equivalente a
Passo 4
Aplicar a propriedade do produto nulo (zero): se um produto de fatores é zero, pelo menos um dos fatores é zero. Como
é diferente de zero, o único fator que pode ser zero é
. Assim chegamos à equação mais simples
Passo 5
Resolver
. Aqui podemos usar a identidade de diferença de quadrados ou isolar
e tirar raiz quadrada. Primeiro a identidade:
Então
Alternativamente, isolando
temos
e ao tomar raiz quadrada obtemos
. As duas abordagens dão a mesma coisa; agora usamos o produto nulo.
Passo 6
Resolver cada fator linear resultante:
Portanto as soluções candidatas são
e
.
Passo 7
Verificar as soluções substituindo na equação original (checar sempre é uma boa prática):
Ambas satisfazem a equação, portanto são soluções válidas.