(2 pontos) Calcule a integral
\int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} \int_{x^{2}+y^{2}}^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right) d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{-2}^{2}\int_{-\sqrt{4 - x^{2}}}^{\sqrt{4 - x^{2}}}\int_{x^{2}+y^{2}}^{2}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dz\,dy\,dx.
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas cilíndricas (ou polares no plano xy) e integração iterada. Vamos usar que em coordenadas cilíndricas
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
o elemento de área é r\,dr\,d\theta e x^{2}+y^{2}=r^{2}.

Passo 2

Expressão em coordenadas cilíndricas:
  • A projeção no plano xy é o disco r\in[0,2], \theta\in[0,2\pi].
  • O limite em z vai de z=r^{2} até z=2.
  • O integrando (x^{2}+y^{2}) vira r^{2} e o fator Jacobiano traz mais um r.
    Logo a integral fica
\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\int_{z=r^{2}}^{2}r^{2}\,dz\;\bigl(r\,dr\,d\theta\bigr) =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{2}\!\!\int_{r^{2}}^{2}r^{3}\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Integral em z:
\int_{z=r^{2}}^{2}r^{3}\,dz = r^{3}\bigl[\,z\bigr]_{z=r^{2}}^{z=2} = r^{3}\bigl(2 - r^{2}\bigr).
Então a integral reduz a
\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{2}r^{3}\bigl(2 - r^{2}\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 4

Integral em r:
\int_{0}^{2}\bigl(2r^{3} - r^{5}\bigr)\,dr = \Bigl[\,\tfrac{2r^{4}}{4} - \tfrac{r^{6}}{6}\Bigr]_{0}^{2} = \Bigl[\tfrac{r^{4}}{2} - \tfrac{r^{6}}{6}\Bigr]_{0}^{2} = \Bigl(\tfrac{16}{2} - \tfrac{64}{6}\Bigr) = 8 - \tfrac{32}{3} = -\tfrac{8}{3}.

Passo 5

Integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\!\Bigl(-\tfrac{8}{3}\Bigr)\,d\theta = -\tfrac{8}{3}\,\bigl[\,\theta\bigr]_{0}^{2\pi} = -\tfrac{8}{3}\,(2\pi) = -\tfrac{16\pi}{3}.

Resposta

-\frac{16\pi}{3}.

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