(2 pontos) Seja
a borda da parte do plano
que está no primeiro octante. Calcule o valor da integral de linha do campo
Sugestão: Use o Teorema de Stokes
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral de linha
onde
e
é a borda da parte do plano
no primeiro octante. Vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
onde
é a superfície triangular em
e
é o versor normal com componente positiva em
.
Passo 2
Calculamos o rotor
. Escrevendo
com
temos
Então
logo
Passo 3
Parametrizamos
como gráfico de
sobre o domínio
. Para a orientação com componente positiva em
, o vetor elemento de área é
Passo 4
Aplicando Stokes:
O produto escalar é
Logo
Passo 5
Calculamos a integral:
Simplificando o integrando chega-se a